선형대수학 입문/역행렬과 행렬식

역행렬

역행렬은 연립방정식의 역원과 비슷한 역할을 합니다. 틀:인용문 틀:인용문 연립 방정식에서 곱셈의 역은 존재하기만 한다면 유일합니다. 마찬가지롤, 역행렬이 존재하면 유일합니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문

틀:인용문 틀:예제 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 역행렬은 다음과 같이 선형 연립방정식을 푸는데도 사용할 수 있습니다: 틀:인용문 틀:인용문 따라서 기본 행연산과 밀접한 관계가 있는, 그리고 기본 행연산과 관련된 결과의 증명에서 중요한 기본행렬을 정의할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

따라서 우리는 가역행렬의 기본정리 중 복잡한 정리들은 빼버린 간단한 버전을 말할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

아래 정리로 역행렬을 찾는 간편적이고 효율적인 방법을 얻을 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

행렬식

이제 우리는 정사각행렬의 몇몇 성질을 바꾼 것을 더한 행렬식에 대해서 논할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 $3\times 3$ 행렬에 대한 행렬식 공식으로 아주 유용한 공식이 있습니다. 사루스의 법칙으로 공식은 다음과 같습니다: 틀:인용문 틀:증명 우리는 이미 예제로 했다. 또 하자고? 틀:증명 끝 비록 사루스의 법칙을 직접적으로 사용할 수 없지만, 간접적인 방식으로 $4\times 4$ 행렬의 행렬식을 계산할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:증명

• $\det O=0\cdot c_{11}+0\cdot c_{12}+\cdots +0\cdot c_{1n}$
• $\det I_n=1\cdot c_{11}+0\cdot c_{12}+\cdots +0\cdot c_{1n}=c_{1}1=\det I_{n-1}$ (첫번째 행과 첫번째 열을 뺀 $I_n$의 부분행렬은 $I_{n-1}$이다.)

• 따라서 귀납적으로 $\det I_n=\det I_{n-1}=\cdots =\underset{\text{by definition}}{\underbrace{\det I_1=1}}$이다.

틀:증명 끝 여기에 더해서 임의의 행에 대해서 여인수 전개를 사용하여 다음 정리를 따라 행렬식을 계산할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 일반적인 경우에 대해서 이것을 증명하는 것은 복잡하므로 넘어가겠습니다. 틀:인용문 틀:예제

이제 우리는 계산을 위한 간단한 몇가지 행렬의 성질을 논할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

이제 행렬의 가역성을 정하는 간편한 방법을 소개합니다. 그 전에 다음 보조정리 먼저 살펴봅시다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 이 결과를 얻고 나서, 행렬식을 쉽게 계산할 수 있는 행렬식의 성질을 말할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

이제, 역행렬의 연산과 관련된 주목할만한 결과를 가지고 있는 수반행렬에 대해서 소개할 수 있을 것 같습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 증명은 복잡하므로 넘깁니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

이제, 마지막으로, 크라메르 공식이라는 이름이 붙은 선형 연립방정식의 유일한 해를 직접적으로 계산하는 방법을 소개하겠습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제