미분과 적분/함수의 극한

함수의 극한

1. 함수 $f(x)$에 대하여 $x$가 $a$와 다른 값을 가지면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 일정한 값 $\alpha$에 한없이 가까워지면 함수 $f(x)$는 $\alpha$에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\alpha$ 또는 $x\to a$일 때, $f(x)\to \alpha$와 같이 나타낸다. 이때 $\alpha$를 $x\to a$일 때의 함수 $f(x)$의 극한값 또는 극한이라고 한다.
2. 특히 함수 $f(x)=c$ $(c$는 상수$)$는 모든 실수 $x$에 대하여 함수 $f$에 대한 $x$의 함숫값이 항상 $c$이므로 $a$의 값에 관계없이 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }c=c$이다.
3. 함수 $f(x)$에 대한 $x=a$의 함숫값 $f(a)$가 존재하면 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 정의되어 있다고 한다.
4. 함수 $f(x)$에 대하여 $x\to a$일 때, 함숫값 $f(x)$가 한없이 커지면 함숫값 $f(x)$는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$ 또는 $x\to a$일 때, $f(x)\to \mathrm{\infty }$와 같이 나타낸다.
5. 함수 $f(x)$에 대하여 $x\to a$일 때, 함숫값 $f(x)$가 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함숫값 $f(x)$는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ 또는 $x\to a$일 때, $f(x)\to -\mathrm{\infty }$와 같이 나타낸다.
6. 함수 $f(x)$에 대하여 $x$가 한없이 커질 때 함숫값 $f(x)$가 일정한 값 $\alpha$에 한없이 가까워지는 것을 기호로 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\alpha$ 또는 $x\to \mathrm{\infty }$일 때, $f(x)\to \alpha$와 같이 나타낸다.
7. 함숫값 $f(x)$가 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 때에도 각각 다음과 같은 기호를 사용하여 나타낸다.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$

우극한과 좌극한

1. $x$가 $a$보다 큰 값을 가지면서 $a$에 한없이 가까워지는 것을 $x\to a+0$과 같이 나타내고, $x$가 $a$보다 작은 값을 가지면서 $a$에 한없이 가까워지는 것을 $x\to a-0$과 같이 나타낸다.
2. 특히 $x\to 0+0$은 $x\to +0$으로, $x\to 0-0$은 $x\to -0$으로 나타낸다.
3. 함수 $f(x)$에 대하여 $x\to a+0$일 때, 함숫값 $f(x)$가 일정한 값 $\alpha$에 한없이 가까워지면 $\alpha$를 $x\to a$일 때의 함수 $f(x)$의 우극한 또는 우극한값이라 하고, 이것을 기호로 $\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=\alpha$와 같이 나타낸다.
4. 함수 $f(x)$에 대하여 $x\to a-0$일 때, 함숫값 $f(x)$가 일정한 값 $\beta$에 한없이 가까워지면 $\beta$를 $x\to a$일 때의 함수 $f(x)$의 좌극한 또는 좌극한값이라 하고, 이것을 기호로 $\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=\beta$와 같이 나타낸다.
5. $x\to a$일 때, 함수 $f(x)$의 극한값이 $\alpha$라는 것은 $x\to a$일 때의 우극한값과 좌극한값이 존재하고, 그 값이 모두 $\alpha$와 같음을 뜻한다. 즉, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\alpha ⟺\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=\alpha$
6. 우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면, 즉 $\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to a-0}{\lim }f(x)$이면 극한값 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$는 존재하지 않는다.

함수의 극한에 대한 성질

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\alpha ,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\beta$일 때, 다음 성질 1~5가 성립한다. $($단, $\alpha$, $\beta$는 실수$)$

1. $\underset{x\to a}{\lim }kf(x)=k\underset{x\to a}{\lim }f(x)=k\alpha$ (단, $k$는 상수)
2. $\underset{x\to a}{\lim }\{f(x)+g(x)\}=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\alpha +\beta$
3. $\underset{x\to a}{\lim }\{f(x)-g(x)\}=\underset{x\to a}{\lim }f(x)-\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\alpha -\beta$
4. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\alpha \beta$
5. $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}=\frac{\alpha }{\beta }$ (단, $g(x)\ne 0$, $\beta \ne 0$)

• 함수의 극한에 대한 성질은 $x\to a+0,x\to a-0,x\to \mathrm{\infty },x\to -\mathrm{\infty }$일 때에도 성립함이 알려져 있다.
• 분수함수의 극한에서 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha$ $(\alpha$는 실수$)$일 때, $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$
• 특히, 분수함수의 극한에서 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha$ $(\alpha \ne 0)$일 때, $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0⟺\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$

함수의 극한의 대소 관계

$a$에 가까운 모든 값 $x$에 대하여 다음 대소 관계 1, 2가 성립한다.

1. $f(x)\le g(x)$이고, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\alpha ,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\beta$이면 $\alpha \le \beta$
2. $f(x)\le g(x)\le h(x)$이고, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=\alpha$이면 $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\alpha$