기초 수학/수와 식의 계산/다항식의 계산

틀:안내 다항식의 계산 단원에서는 지수법칙, 다항식의 곱셈 원리와 인수분해, 다항식의 계산을 다룬다.

지수법칙의 이해

지수법칙

$a>0,b>0$이고, $m,n$이 유리수일 때, 아래와 같은 성질이 있다.

• $a^0=1$
• $a^m\times a^n=a^{m+n}$
• $a^m÷a^n=a^{m-n}$
• $(a^m{)}^n=a^{mn}=(a^n{)}^m$
• $(ab{)}^m=a^m{b}^m$
• $(a÷b{)}^m=a^m÷b^m$
• $a^{-m}=1÷a^m$

다항식의 계산

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 괄호를 풀고 동류항끼리 계산을 한다. 괄호가 있는 식에서는 괄호 안부터 계산한다.

단항식과 다항식의 곱셈

단항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 식을 전개한 후 계산한다.

• $a(b+c-d)=ab+ac-ad$
• $(a+b-c)d=ad+bd-cd$

다항식과 단항식의 나눗셈

다항식과 단항식의 나눗셈은 분수 꼴로 고친 후 계산하거나 분배법칙을 이용하여 전개한 후 계산한다.

• $(a+b-c)÷d=\frac{a+b-c}{d}=\frac{a}{d}+\frac{b}{d}-\frac{c}{d}$
• $(a+b-c)÷d=(a+b-c)\times \frac{1}{d}=a\times \frac{1}{d}+b\times \frac{1}{d}-c\times \frac{1}{d}=\frac{a}{d}+\frac{b}{d}-\frac{c}{d}$

다항식의 연산

곱셈공식

틀:위키백과 곱셈공식(곱셈公式, Multiplication theorem)은 다항식의 곱셈에서 식을 전개에 대해 정리한 공식이다.

• $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
• $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
• $(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)-ab$
• $(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$

곱셈공식의 활용

제곱의 계산

제곱의 계산은 아래와 같이 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$을 이용하여 계산한다.

• $105^2=(100+5{)}^2=100^2+2\times 100\times 5+5^2=10000+1000+25=11025$
• $95^2=(100-5{)}^2=100^2-2\times 100\times 5+5^2=10000-1000+25=9025$

두 수의 곱의 계산

두 수의 곱의 계산은 아래와 같이 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$을 이용하여 계산한다.

• $102\times 98=(100+2)(100-2)=100^2-2^2=10000-4=9996$

곱셈공식의 변형

곱셈공식은 아래와 같이 변형할 수 있다.

• $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$
• $a^2+b^2=(a-b{)}^2+2ab$
• $(a+b{)}^2=(a-b{)}^2+4ab$
• $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$
• $a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a}{)}^2-2$
• $a^2+\frac{1}{a^2}=(a-\frac{1}{a}{)}^2+2$

인수분해

틀:위키백과 다항식에서 인수분해(因數分解, Factorization)는 어떤 다항식을 단항식이나 다항식의 곱으로 표현하는 것을 말한다.

인수분해 공식

인수분해에 관한 공식은 다음과 같이 있다.

• $ma+mb=m(a+b)$
• $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$
• $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$
• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
• $ac{x}^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

인수분해의 활용

연산할 때 아래와 같이 인수분해를 활용하면 편리하다.

• $98^2-2^2=(98+2)(98-2)=100\times 96=9600$

참고 문헌

• 틀:서적 인용