기초 수학/방정식과 함수/이차방정식과 이차함수

이차함수 $y=x^2-x-2$의 그래프

이차방정식과 이차함수 단원에서는 이차방정식의 뜻, 이차방정식의 근의 공식, 이차함수의 뜻, 이차함수의 그래프와 성질, 이차함수의 최댓값과 최솟값을 다룬다.

이차방정식

이차방정식의 뜻

틀:위키백과 최고차항의 차수가 2인 방정식을 이차방정식(二次方程式, Quadratic equation)이라고 한다. 그 중 미지수 $x$가 포함된 이차방정식을 '$x$에 관한 이차방정식'이라고 한다. $x$에 관한 이차방정식에서 그 식이 참이 되게 하는 $x$의 값을 '해' 또는 '근'이라고 하며, 이차방정식의 해를 구하는 것을 '이차방정식을 푼다'고 한다.

이차방정식의 풀이

인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

이차방정식을 푸는 방법은 인수 분해한 다음, $AB=0$이면 $A=0$ 또는 $B=0$이라는 점을 이용하여 이차방정식의 근을 구한다.

• $10x^2-2=21x+8$

$\iff 10x^2-21x-10=0$

$\iff (2x-5)(5x+2)=0$

$\iff 2x-5=0$ 또는 $5x+2=0$

$\iff x=\frac{5}{2}$ 또는 $x=-\frac{2}{5}$

제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이

아래와 같이 제곱근을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있다.

• $x^2=k$ (단, $k\ge 0$)

$\iff x=\pm \sqrt{k}$

• $a{x}^2=k$ (단, $a\ne 0,ak\ge 0$)

$\iff x^2=\frac{k}{a}$

$\iff x=\pm \sqrt{\frac{k}{a}}$

• $(x-p{)}^2=q$ (단, $q\ge 0$)

$\iff x-p=\pm \sqrt{q}$

$\iff x=p\pm \sqrt{q}$

• $a(x-p{)}^2=q$ (단, $a\ne 0,aq\ge 0$)

$\iff (x-p{)}^2=\frac{q}{a}$

$\iff x-p=\pm \sqrt{\frac{q}{a}}$

$\iff x=p\pm \sqrt{\frac{q}{a}}$

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

이차방정식의 두 근의 값이 서로 같을 때의 근을 중근이라고 한다. 이차방정식이 중근을 가지려면 이차방정식이 '(완전제곱식)=0'의 꼴로 인수분해되어야 한다. 즉, 이차방정식에서 이차항의 계수가 1일 때, 일차항의 계수에서 2를 나눈값의 제곱이 상수항의 값과 같으면 완전제곱식이 된다.

• $x^2-8x+10=0$

$\iff x^2-8x+16=6$

$\iff (x-4{)}^2=6$

$\iff x-4=\pm \sqrt{6}$

$\iff x=4\pm \sqrt{6}$

이차방정식의 근의 공식

근의 공식

$x$에 관한 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)의 근은 아래와 같다.

• $a{x}^2+bx+c=0$

$\iff x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$\iff x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

$\iff x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2=-\frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

$\iff {(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$\iff x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\iff x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

따라서 $x$에 관한 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)의 근은 $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$이다. $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$을 이차방정식의 근의 공식이라고 한다.

짝수 공식

$x$에 관한 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)에서 $b=2b^{\prime }$일 때, 이차방정식의 근의 공식에 $b=2b^{\prime }$을 대입하여 정리하면 아래와 같다.

• $x=\frac{-2b^{\prime }\pm \sqrt{(2b^{\prime }{)}^2-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2b^{\prime }\pm \sqrt{4b{\text{'}}^2-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2b^{\prime }\pm \sqrt{4(b{\text{'}}^2-ac)}}{2a}$

$=\frac{-2b^{\prime }\pm 2\sqrt{b{\text{'}}^2-ac}}{2a}$

$=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b{\text{'}}^2-ac}}{a}$

따라서 $x$에 관한 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)에서 $b=2b^{\prime }$일 때, $x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b{\text{'}}^2-ac}}{a}$이다. $x$에 관한 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)에서 $b$가 짝수일 때 이 공식을 이용하면 계산이 편리하다.

이차방정식의 근의 개수

$x$에 관한 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)의 근의 공식 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$에서 $b^2-4ac$의 부호에 의해 근의 개수가 결정된다. 이때, $b^2-4ac$를 판별식이라고 하며, 판별식을 바탕으로 이차방정식의 근의 개수를 정리하면 아래와 같다.

이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)에서

• $b^2-4ac>0$이면, 서로 다른 두 근을 갖는다. ($x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$)
• $b^2-4ac=0$이면, 한 근(중근)을 갖는다. ($x=-\frac{b}{2a}$)
• $b^2-4ac<0$이면, 근이 없다.

이차함수

이차함수의 뜻

틀:위키백과 최고차항의 차수가 2인 함수를 이차함수(二次函數, Quadratic function)라고 한다. 일반적으로 이차함수는 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0,a,b,c$는 상수) 혹은 $y=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0,a,b,c$는 상수)와 같은 형태로 나타낸다.

이차함수의 그래프

틀:위키백과 이차함수 $y=x^2$의 그래프의 모양과 같이, 평면에서 어떤 점 $F$와 $F$를 지나지 않는 직선 $l$이 주어졌을때, $F$에 이르는 거리와 $l$에 이르는 거리가 같은 점들의 자취를 포물선(抛物線, Parabola)이라고 한다. 선대칭도형인 포물선의 대칭을 이루게 하는 직선을 축(軸, Axle)이라고 하며 포물선과 축의 교점을 꼭짓점(Vertex)이라고 한다.

이차함수 $y=a{x}^2$의 그래프

이차함수 $f(x)=a{x}^2{|}_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}$의 그래프

이차함수 $y=a{x}^2$의 그래프는 아래와 같은 성질이 있다.

• 꼭짓점의 좌표가 $(0,0)$이다.
• $y$축을 축으로 하여 대칭한다.

  축의 방정식이 $x=0$이다.

• $a>0$이면 아래로 볼록하고 $a<0$이면 위로 볼록하다.
• $|a|$가 클수록 그래프의 폭은 좁아지며 $|a|$가 작을수록 그래프의 폭은 넓어진다.
• $y=-a{x}^2$의 그래프와 $x$축을 중심으로 서로 대칭 관계이다.

이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프

이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q(a\ne 0)$의 그래프의 성질은 다음과 같다.

• 꼭짓점의 좌표는 $(p,q)$이다.
• 직선 $x=p$에 대하여 대칭이다.

  축의 방정식이 $x=p$이다.

• $a>0$이면 아래로 볼록하고 $a<0$이면 위로 볼록하다.
• $|a|$가 클수록 그래프의 폭은 좁아지고 $|a|$가 작을수록 그래프의 폭은 넓어진다.
• 이차함수 $y=a{x}^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 이차함수와 같다.

이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프와 $x$축과의 교점의 좌표는 이차함수에 $x=0$을 대입하였을 때의 $y$ 값이 $y$ 좌표이다($x$ 좌표는 $0$이다.). 마찬가지로 이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프와 $y$축과의 교점의 좌표는 이차함수에 $y=0$을 대입하였을 때의 $x$ 값이 $x$ 좌표이다($y$ 좌표는 $0$이다.).

이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수는 $y=a(x-p-m{)}^2+q+n$이다.

이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭시킨 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 $y$의 부호가 바뀌므로 아래와 같다.

• $-y=a(x-p{)}^2+q$

  $\iff y=-\{a(x-p{)}^2+q\}$

  $\iff y=-a(x-p{)}^2-q$

이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프를 $x$축에 대칭시킨 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 $y=-a(x-p{)}^2-q$이다.

이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭시킨 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 $y=a(x+p{)}^2+q$이다.

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 그래프

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$을 $y=a(x-p{)}^2+q$의 꼴로 고치는 과정은 아래와 같다.

• $y=a{x}^2+bx+c$

  $\iff y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$

  $\iff y=a\{x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\}+c-\left(\frac{b^2}{4a}\right)$

  $\iff y=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

따라서 이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$을 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프에서 꼭짓점의 좌표는 $(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$이고 축의 방정식은 $x=-\frac{b}{2a}$이다. $y$축과의 교점의 좌표는 $(0,c)$이다.

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수는 기존의 이차함수를 $y=a(x-p{)}^2+q$의 꼴로 변형한 다음 $y=a(x-p-m{)}^2+q+n$을 전개하여 계산할 수 있다.

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 $y$의 부호가 바뀌므로 아래와 같다.

• $-y=a{x}^2+bx+c$

  $\iff y=-\{a{x}^2+bx+c\}$

  $\iff y=-a{x}^2-bx-c$

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 $x$의 부호가 바뀌므로 아래와 같다.

• $y=a(-x{)}^2+b(-x)+c$

  $y=a{x}^2-bx+c$

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 그래프와 $y$축과의 교점의 좌표는 $(0,c)$이다.

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 그래프에서 $a,b,c$의 부호에 따라 그래프의 모양은 아래와 같다.

• $a>0$이면 그래프의 모양이 아래로 볼록하고, $a<0$이면 그래프의 모양이 위로 볼록하다.
• $ab>0$이면 꼭짓점이 $y$축의 왼쪽이 있고, $ab<0$이면 $y$축의 오른쪽에 있다. $b=0$이면 꼭짓점이 $y$축 위에 있다.
• $c>0$이면 $y$축과의 교점이 $x$축의 위쪽에 있고, $c<0$이면 $y$축과의 교점이 $x$축의 아래에 있다.

이차함수의 최댓값과 최솟값

어떤 함수에서 정의역의 각 원소에 대응하는 함숫값 중에서 가장 큰 값을 최댓값(最大값, Maximum)이라고 하고, 정의역의 각 원소에 대응하는 함숫값 중에서 가장 작은 값을 최솟값(最小값, Minimum)이라고 한다.

이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$에서 $a>0$일 때 꼭지점의 함숫값이 최솟값이 되므로 최솟값은 $q$이고, 최댓값은 무한히 큰 수이므로 없다. 반면 같은 함수에서 $a<0$일 때에는 꼭짓점의 함숫값이 최댓값이 되므로 최댓값은 $q$이며, 최솟값은 무한히 작은 수이므로 없다.

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$에서 최댓값과 최솟값을 계산하는 것은 이차함수를 $y=a(x-p{)}^2+q$ 꼴로 변환한 뒤 계산한다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용