기초 수학/수와 식의 계산/수의 연산

틀:안내 수의 연산 단원에서는 제곱근의 뜻과 성질, 무리수의 개념, 근호를 포함한 식의 사칙계산을 다룬다.

제곱근의 뜻과 성질

제곱근의 뜻

틀:위키백과 어떤 수 $x$가 있을 때 그 수를 제곱한 수를 $y$라고 하자. 이 때 $x$를 $y$의 제곱근(제곱根, Square root)이라고 한다. 즉, 어떤 수 $a$가 있다고 가정하면, 제곱하여 $a$가 되는 실수를 $a$의 제곱근이라고 한다. 어떤 수 $a$의 제곱근 중 양수인 수를 양의 제곱근이라고 하며, $\sqrt{x}$로 표기하고 '루트 $x$' 또는 '제곱근 $x$'라고 읽는다. 마찬가지로 어떤 수 $a$의 제곱근 중 음수인 수를 음의 제곱근이라고 하며, $-\sqrt{x}$로 표기한다.

예를 들어, $3^2=(-3{)}^2=9$이므로, $9$의 제곱근은 $3$과 $-3$이고, $\sqrt{9}=3$이다.

제곱근의 성질

제곱근은 다음과 같은 성질이 있다.

• $a>0$일 때 ($a$는 실수)
  • $(\sqrt{a}{)}^2=a,(-\sqrt{a}{)}^2=a$
  • $\sqrt{a^2}=a,\sqrt{(-a{)}^2}=a$

• $a>0$일 때, $\sqrt{a^2}=|a|=a$
• $a<0$일 때, $\sqrt{a^2}=|a|=-a$

제곱근의 대소 관계

제곱근의 대소 관계는 아래와 같다.

• $a>0,b>0$일 때
  • $a<b$이면, $\sqrt{a}<\sqrt{b},-\sqrt{a}>-\sqrt{b}$
  • $\sqrt{a}<\sqrt{b}$이면, $a<b$

무리수의 개념

$\sqrt{2}$는 무리수이다.

무리수의 뜻

틀:위키백과 무리수(無理數, Irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수이다. 즉, 실수 중 유리수가 아닌 수를 말하며, 순환하지 않는 무한소수이다.

실수의 뜻

틀:위키백과 실수(實數, Real number) 무리수와 유리수를 총칭하는 수이다. 즉, 실수는 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합이다.

근호를 포함한 식의 사칙계산

제곱근의 곱셈

제곱근의 곱셈 연산은 다음과 같다.

• $a>0,b>0$이고, $m,n$이 유리수일 때
  • $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$
  • $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b},\sqrt{a{b}^2}=b\sqrt{a}$
  • $m\sqrt{a}\times n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}$
  • $(\sqrt{ab}{)}^2=(\sqrt{a}\sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}{)}^2(\sqrt{b}{)}^2=ab$

제곱근의 나눗셈

제곱근의 나눗셈 연산은 다음과 같다.

• $a>0,b>0$이고, $m,n$이 유리수일 때
  • $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
  • $\sqrt{\frac{a}{b^2}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}}=\frac{\sqrt{a}}{b}$
  • $m\sqrt{a}÷n\sqrt{b}=\frac{m}{n}\sqrt{\frac{a}{b}}$
  • ${\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{(\sqrt{a}{)}^2}{(\sqrt{b}{)}^2}=\frac{a}{b}$

제곱근의 덧셈과 뺄셈

제곱근의 덧셈과 뺄셈 연산은 다음과 같다.

• $a>0$이고, $m,n$이 유리수일 때
  • $m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}$
  • $m\sqrt{a}-n\sqrt{a}=(m-n)\sqrt{a}$

분모의 유리화

틀:위키백과 분모가 무리수인 분수의 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 분모의 유리화(有理化, Rationalization)라고 한다. 무리수인 분모를 유리수가 되도록 분모와 분자에 같은 수를 곱해 정리하는 방법으로, 분모를 유리화하는 구체적인 과정은 다음과 같다.

• $a>0,b>0$일 때
  • $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\times \sqrt{b}}{\sqrt{b}\times \sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{(\sqrt{b}{)}^2}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$
  • $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\times \sqrt{b}}{\sqrt{b}\times \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{(\sqrt{b}{)}^2}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$
  • $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}-\sqrt{c})}=\frac{a\sqrt{b}-a\sqrt{c}}{b-c}$

실수의 대소 관계

두 실수 $a,b$의 대소 관계는 다음과 같은 방법을 통해 알 수 있다.

• $a,b$가 실수일 때
  • $a-b>0$이면 $a>b$
  • $a-b=0$이면 $a=b$
  • $a-b<0$이면 $a<b$

참고 문헌

• 틀:서적 인용