선형대수학 입문/역행렬과 행렬식 문서 원본 보기
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== 역행렬 == 역행렬은 연립방정식의 역원과 비슷한 역할을 합니다. {{인용문| '''정의 3.1. (역행렬)''' <math>n\times n</math> 행렬 <math>A</math>은 다음이 성립하는 <math>n\times n</math> 행렬 <math>B</math>가 존재하면 가역행렬이다.(혹은 특이 값이 없다.) <math display=block> AB=I_n=BA </math> 행렬 <math>B</math>는 행렬 <math>A</math>의 역행렬이라고 하고, 보통 <math>A^{-1}</math>이라고 쓴다. 역행렬이 존재하지 않은 행렬은 비가역적이라고 한다.(혹은 특이 값을 갖는다.) }} {{인용문| '''참고''' * 가역행렬 정리에 따르면(이것의 완전한 정리들의 증명들은 복잡하므로 스킵한다.) 행렬 하나가 <math>AB=I_n</math>와 <math>BA=I_n</math>를 가지고 있으면 그 반대쪽 행렬도 똑같이 성립한다. }} 연립 방정식에서 곱셈의 역은 존재하기만 한다면 유일합니다. 마찬가지롤, 역행렬이 존재하면 유일합니다. {{인용문| '''명제 (역행렬의 유일성)''' 역행렬이 존재하면 유일하다. }} {{인용문| '''증명''' 행렬 <math>A</math>의 역행렬이 각기 다른 행렬 <math>B</math>와 <math>C</math>이라고 가정하자.(귀류법) 역행렬의 정의에 따라 <math>AB=BA=AC=CA=I</math>이다. <math>A</math>의 역행렬이 존재한다면 우리는 <math display=block> AB=AC\Leftrightarrow A^{-1}AB=A^{-1}AC\Leftrightarrow IB=IC\Leftrightarrow B=C, </math> 를 얻을 수 있고, 이는 모순이다. }} {{인용문| '''예시 (가역행렬)''' 행렬 <math display=block> \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&0\\ \end{pmatrix} </math> 은 가역적이고, 이것의 역행렬은 <math display=block> \begin{pmatrix} 0&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{6} \end{pmatrix} </math> 이다. 왜냐하면 <math display=block> \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{6} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =I_2 </math> 이기 때문이다.(가역행렬의 정리에 따라 다른 순서의 행렬곱도 역시 <math>I_2</math>임을 내포한다.) {{예제| <quiz display=simple> {Is <math>\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{pmatrix}</math> invertible? |type="()"} + yes || see the above equation - no </quiz> }} }} {{인용문| '''예시 (비가역행렬)''' 행렬 <math display=block> \begin{pmatrix} 1&3\\ 4&12\\ \end{pmatrix} </math> 은 비가역적이다. {{인용문| '''증명''' 저 행렬이 가역적이라고 가정하자.(귀류법) <math>\begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}</math> 과 같은 행렬이 존재하여 <math display=block> \begin{pmatrix} 1&3\\4&12\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{pmatrix} </math> 가 성립한다고 하자. 하지만 이 등식은 아래와 동치다. <math display=block> \begin{pmatrix} a+4c&b+4d\\3a+12c&b+12d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} a+4c&=1\\3a+12c&=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a+4c&=1\\a+4c&=0 \end{cases}, </math> 이는 가능하지 않으므로, 모순이다. }} }} {{예제| <quiz display=simple> {Choose all correct statements. |type="[]"} - if matrices <math>A</math> and <math>B</math> are invertible, <math>A+B</math> is also invertible || counterexample: <math>A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}</math> || then, <math>A+B=O_{2\times 2}</math>, which is non-invertible, since the matrix product of zero matrix and arbitrary matrix is zero matrix, instead of identity matrix - if matrices <math>A</math> and <math>B</math> are non-invertible, <math>A+B</math> is also non-invertible || counterexample: <math>A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}</math> are both non-invertible, || but <math>A+B=I_2</math> is invertible + if matrices <math>A</math> and <math>B</math> are invertible, <math>AB</math> and <math>BA</math> are also invertible || since there exists <math>A^{-1},B^{-1}</math>, || and <math>ABB^{-1}A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I</math>, so <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math> || similarly, we have <math>BAA^{-1}B^{-1}=I</math>, so <math>(BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math> + if matrices <math>A</math> and <math>B</math> are non-invertible, <math>AB</math> is also non-invertible || suppose <math>AB</math> is invertible || then <math>ABC=I\Leftrightarrow A(BC)=I</math> for some matrix <math>C</math>, || which implies that <math>BC</math> is matrix inverse of <math>A</math>, causing a contradiction to the condition that <math>A</math> is non-invertible {Choose all correct statements. |type="[]"} - since <math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\1&1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\\end{pmatrix}</math>, the inverse of <math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}</math> is <math>\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\1&1\\\end{pmatrix}</math> || the matrices involved are not square matrices, and only square matrix can have matrix inverse + let <math>A</math> be a matrix. <math>(A^{-1})^{-1}=A</math> || since <math>AA^{-1}=I=A^{-1}A</math>, the matrix inverse of <math>A^{-1}</math> is <math>A</math> - if matrix <math>A</math> is invertible, <math>AB=BA</math> for each matrix with the same size as <math>A</math> || counterexample: <math>\begin{pmatrix}1&2\\3&0\\\end{pmatrix}</math> is invertible || but <math>\begin{pmatrix}1&2\\3&0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\3&6\\\end{pmatrix}</math>, and || <math>\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&2\\15&6\\\end{pmatrix}</math> </quiz> }} {{인용문| '''명제(역행렬의 성질)''' <math>A</math>와 <math>B</math>가 같은 크기의 행렬이라고 하고 <math>c</math>는 <math>0</math>이 아닌 스칼라라고 하자. <math>A</math>와 <math>B</math>는 다음과 같은 성질을 만족한다. * (자기가역성) <math>A^{-1}</math>는 가역적이고 <math>(A^{-1})^{-1}=A</math>이다. * (스칼라 곱셈) <math>cA</math>는 가역적이고 <math>(cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}</math>이다. * ('역곱셈') <math>AB</math>는 가역적이고 <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>이다. * (전치와 역행렬의 치환가능성) <math>A^T</math> is invertible <math>(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T</math> }} {{인용문| '''증명''' * (자기가역성) <math>A</math>는 가역적이므로, <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math>, 따라서 <math>A^{-1}</math>는 가역적이고 그 역행렬은 <math>A</math>이다. * (스칼라 곱셈) <math>(cA)(c^{-1}A^{-1})=(cc^{-1})(AA^{-1})=1(I)=I</math>, 증명 끝. * ('역곱셈') <math>(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I</math>, 증명 끝. * (전치와 역행렬의 치환가능성) <math>(A^T)(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I^T=I</math>, 증명 끝. }} {{인용문| '''참고''' * 귀납적으로 다음과 같은 일반화된 '역곱셈'을 얻을 수 있다: <math>A_1A_2\cdots A_n</math>가 가역적이면 <math display=block> (A_1A_2\cdots A_n)^{-1}=A_n^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1} </math> }} 역행렬은 다음과 같이 선형 연립방정식을 푸는데도 사용할 수 있습니다: {{인용문| '''명제''' 가역행렬 <math>A</math>가 있는 <math>A\mathbf x=\mathbf b</math>를 선형 연립방정식을 생각하자. 이 선형 연립방정식은 <math>\mathbf x=A^{-1}\mathbf b</math>에 의해 유일한 해를 갖는다. }} {{인용문| '''증명''' <math display=block> \begin{align} &&A\mathbf x&=\mathbf b\\ &\Leftrightarrow&{\color{green}A^{-1}}A\mathbf x&={\color{green}A^{-1}}\mathbf b\\ &\Leftrightarrow&I\mathbf x&={\color{green}A^{-1}}\mathbf b\\ &\Leftrightarrow&\mathbf x&={\color{green}A^{-1}}\mathbf b\\ \end{align} </math> }} 따라서 기본 행연산과 밀접한 관계가 있는, 그리고 기본 행연산과 관련된 결과의 증명에서 중요한 기본행렬을 정의할 수 있습니다. {{인용문| '''정의 3.2. (기본행렬)''' <math>n</math>을 자연수라고 하자. 그러면 세 가지 종류의 <math>n\times n</math> 기본행렬이 존재한다. 기본행렬은 항등행렬 <math>I_n</math>에서 정의 2.4.에서 정의한 기본 행연산의 연산을 하여 각각의 기본행렬을 얻을 수 있다. }} {{인용문| '''참고''' * 항등행렬 <math>I_n</math>에서 행렬을 만들 때 두 개나 그 이상의 기본 행연산이 필요하다면 기본 행렬이 아니다. }} {{인용문| '''예시''' 행렬 <math display=block> \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\ \end{pmatrix} </math> 은 <math>I_3</math>에 기본 행연산 <math>\mathbf r_2\leftrightarrow\mathbf r_3</math>을 적용하여 만들 수 있으므로 치환을 적용한 기본행렬이다. 행렬 <math display=block> \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&7&0\\0&0&1\\ \end{pmatrix} </math> 은 <math>I_3</math>에 기본 행연산 <math>7\mathbf r_2\to\mathbf r_2</math>을 적용하여 만들 수 있으므로 스칼라 곱셈을 적용한 기본행렬이다. 행렬 <math display=block> \begin{pmatrix} 1&-9&0\\0&1&0\\0&0&1\\ \end{pmatrix} </math> 은 <math>I_3</math>에 기본 행연산 <math>-9\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math>적용하여 만들 수 있으므로 덧셈을 적용한 기본행렬이다. 행렬 <math display=block> \begin{pmatrix} 0&0&1\\1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix} </math> 은 <math>I_3</math>에 <math>\mathbf r_1\leftrightarrow \mathbf r_3,\mathbf r_2\leftrightarrow\mathbf r_3</math>같이 적어도 두 개의 기본 행연산을 필요로 하므로 이 경우에는 기본연산이 아니다. }} {{예제| <quiz display=simple> {Choose correct statement(s) |type="[]"} - product of elementary matrices is elementary matrix || counterexample: <math>\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&6\\0&1\\\end{pmatrix}</math> || the matrices at LHS are elementary matrices, while the matrix at RHS is {{colored em|not}} elementary matrix + <math>(AB)^{-1}=(BA)^{-1}</math> if <math>B</math> is the inverse of <math>A</math> || by definition, <math>AB=BA=I</math> || so this equation is equivalent to <math>I^{-1}=I^{-1}\Leftrightarrow I=I</math>, which is true + if <math>A</math> and <math>B</math> are invertible matrices of the same size, the SLE <math>AB\mathbf x=\mathbf b</math> has an unique solution || because of the condition, <math>AB</math> is also invertible, and so this SLE has a unique solution - sum of elementary matrices is elementary matrix || counterexample: <math>\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}</math> || the matrices at LHS are elementary matrices, while the matrix at RHS is {{colored em|not}} elementary matrix </quiz> }} {{인용문| '''명제''' 크기가 <math>m\times n</math>인 행렬 <math>A</math>을 생각하자. <math>B</math>가 <math>A</math>에 기본 행연산 한 번으로 만들어지면, <math>B=EA</math>를 만족하는 크기가 <math>m\times m</math>인 기본행렬 <math>E</math>가 존재하여, <math>E</math> 역시도 <math>I_m</math>에 같은 기본 행연산을 연산하여 얻을 수 있다. 반대로, <math>E</math>가 <math>m\times m</math>인 기본행렬이면, <math>EA</math>는 <math>A</math>에 상응하는 기본 행연산을 실행하여 만들 수 있다. }} {{인용문| '''증명''' 설명: <math>2\times 2</math>의 예시: * 치환 기본 행연산:<math display=block> \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix} \overset{\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2}\to \begin{pmatrix} c&d\\a&b\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\times a+1\times c&0\times b+1\times d\\ 1\times a+0\times c&1\times b+0\times d\\ \end{pmatrix} </math> * 스칼라 곱셈 기본 행연산: <math display=block> \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix} \overset{k\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to \begin{pmatrix} ka&kb\\c&d\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} k&0\\0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} k\times a+0\times c&k\times b+0\times d\\ 0\times a+k\times c&0\times b+k\times d\\ \end{pmatrix} </math> * 덧셈 기본 행연산: <math display=block> \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix} \overset{k\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \begin{pmatrix} a&b\\c+ka&d+kb\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0\\k&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\times a+k\times c&1\times b+0\times d\\ k\times a+1\times c&k\times b+1\times d\\ \end{pmatrix} </math> }} {{인용문| '''참고''' * 명제의 시각화: <math display=block> \begin{align} A&\overset{\text{기 본 행 연 산}}\to B={\color{green}E}A\\ I_m&\overset{\text{기 본 행 연 산}}\to{\color{green}E} \end{align} </math> * 귀납적으로 다음을 생각할 수 있다: <math display=block> \begin{align} A&\overset{{\color{green}\text{기 본 행 연 산 1}}}\to {\color{green}E_1}A\overset{{\color{blue}\text{기 본 행 연 산 2}}}\to {\color{blue}E_2}({\color{green}E_1}A)\cdots\overset{{\color{brown}\text{기 본 행 연 산 }n}}\to B={\color{brown}E_n}\cdots{\color{blue}E_2}{\color{green}E_1} A\\ I_m&\overset{{\color{green}\text{기 본 행 연 산 1}}}\to{\color{green}E_1}\overset{{\color{blue}\text{기 본 행 연 산 2}}}\to {\color{blue}E_2}{\color{green}E_1}\cdots\overset{{\color{brown}\text{기 본 행 연 산 }n}}\to {\color{brown}E_n}\cdots{\color{blue}E_2}{\color{green}E_1} \end{align} </math> }} {{인용문| '''예시''' 다음 기본 행연산 <math display=block> \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\ \end{pmatrix} \overset{{\color{green}\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2}}\to \begin{pmatrix}3&4\\1&2\\ \end{pmatrix} \overset{{\color{blue}-3\mathbf r_1\to\mathbf r_1}}\to \begin{pmatrix}-9&-12\\1&2\\ \end{pmatrix} \overset{{\color{brown}4\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}}\to \begin{pmatrix}-5&-4\\1&2\\ \end{pmatrix} </math> 에 대응하는 행렬곱 <math display=block> \begin{pmatrix}-5&-4\\1&2\\ \end{pmatrix}= {\color{brown}\begin{pmatrix}1&4\\0&1\\\end{pmatrix}} {\color{blue}\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\\\end{pmatrix}} {\color{green}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\ \end{pmatrix} </math> 을 만들 수 있다. }} {{인용문| '''명제 (기본행렬의 가역성)''' 기본행렬은 가역적이다. 기본행렬의 역행렬은 같은 종류의 연산의 기본행렬이다. }} {{인용문| '''증명''' 각각의 기본 행연산의 역과정은 같은 종류의 기본 행연산이다. <math>E_1</math>와 <math>E_2</math>는 서로 역과정에 있는 두 기본 행연산에 대응하는 기본행렬이라고 하자. 이는 같은 종류이다. 따라서, <math>E_2E_1=I\Leftrightarrow E_1^{-1}=E_2</math>이고, 증명은 끝났다.(<math>I</math>는 <math>I</math>에 어떤 기본 행 연산과 그것의 역과정을 연산하면 얻을 수 있기 때문이다.) }} {{인용문| '''참고''' * <math>R</math>이 <math>A</math>의 RREF(기약행사다리꼴행렬)이면, 어떤 기본행렬 <math>E_1,E_2,\ldots,E_k</math>에 대해 <math>R=E_k\cdots E_2E_1A</math>. :* 기본행렬은 가역적이므로, <math>E_k\cdots E_2E_1</math>는 가역적이고, 그것의 역행렬은 <math>E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}</math>이다. :* 다시 말해서, 어떤 가역행렬 <math>P</math>에 대해서 <math>R=PA</math>이다. }} {{인용문| '''예시''' <math>\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2</math>, <math>2\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math>, <math>2\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2</math>의 역과정들은 각각 <math>\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2</math>, <math>\frac{1}{2}\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math>, <math>-2\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2</math>이므로 기본행렬 <math>\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\\ \end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix} 2&0\\0&1\\ \end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix} 1&0\\2&1\\ \end{pmatrix}</math>의 역행렬은 각각 <math>\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\\ \end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\0&1\\ \end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix} 1&0\\-2&1\\ \end{pmatrix}</math> 이다. 특히, 치환 기본행렬의 역행렬은 자기 자신이다. }} {{예제| It is given that matrix <math>B=\begin{pmatrix} 1&3&8\\ 3&7&2\\ 0&2&2\\ \end{pmatrix}</math> is obtained from matrix <math>A</math> by performing the EROs <math>\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_3,3\mathbf r_2\to\mathbf r_2,-\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3</math>, in this order, and <math>B^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}5&5&-25\\-3&1&11\\3&-1&-1\\\end{pmatrix}</math>. <quiz display=simple> {Find <math>A</math>. |type="()"} + <math>\begin{pmatrix}1&5&10\\1&\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\1&3&8\\\end{pmatrix}</math> || denote the elementary matrices of the given EROs in the given order by <math>E_1,E_2,E_3</math> || <math>B=E_3E_2E_1A\Leftrightarrow A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}B</math> - <math>\begin{pmatrix}0&2&2\\9&21&6\\1&1&6\\\end{pmatrix}</math> || denote the elementary matrices of the given EROs in the given order by <math>E_1,E_2,E_3</math> || <math>A\ne E_3E_2E_1B</math> - <math>\begin{pmatrix}-1&-1&-6 \\9&21&6\\1&3&8\\\end{pmatrix}</math> || denote the elementary matrices of the given EROs in the given order by <math>E_1,E_2,E_3</math> || <math>A\ne E_1E_2E_3B</math> - <math>\begin{pmatrix}7&9&1 \\-1&21&3\\2&6&0\\\end{pmatrix}</math> || denote the elementary matrices of the given EROs in the given order by <math>E_1,E_2,E_3</math> || <math>A\ne BE_1E_2E_3</math> {Find <math>A^{-1}</math>. |type="()"} + <math>\frac{1}{20}\begin{pmatrix}-25&15&30\\11&3&-14\\-1&-3&4\end{pmatrix}</math> || denote the elementary matrices of the given EROs in the given order by <math>E_1,E_2,E_3</math> || <math>B=E_3E_2E_1A\Leftrightarrow A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}B\Leftrightarrow A^{-1}=B^{-1}E_3E_2E_1</math> - <math>\frac{1}{20}\begin{pmatrix}-30&15&5\\41&3&-3\\-4&-3&3\end{pmatrix}</math> || denote the elementary matrices of the given EROs in the given order by <math>E_1,E_2,E_3</math> || <math>A\ne E_3^{-1}E_2^{-1}E_1^{-1}B</math> - <math>\frac{1}{20}\begin{pmatrix}8&4&-26\\-1&\frac{1}{3}&\frac{11}{3}\\5&5&-25\end{pmatrix}</math> || <math>A^{-1}\ne E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}B^{-1}</math> </quiz> }} 따라서 우리는 가역행렬의 기본정리 중 복잡한 정리들은 빼버린 간단한 버전을 말할 수 있습니다. {{인용문| '''정리 (간략화한 가역행렬의 기본정리)''' <math>A</math>는 <math>n\times n</math> 행렬이라고 하자. 그러면 아래 명제들은 동치이다. (i) <math>A</math>는 가역행렬이다. (ii) homogeneous한 선형 연립방정식 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>은 오직 자명한 해 <math>\mathbf x=\mathbf 0</math>만을 갖는다. (iii) <math>A</math>의 RREF는 <math>{\color{green}I_n}</math>이다. (iv) <math>A</math>는 기본행렬들의 곱이다. }} {{인용문| '''증명''' 증명을 위해 순환 함의(내포)를 만들어보려 한다. 예를 들어 (i) <math>\Rightarrow</math> (ii) <math>\Rightarrow</math> (iii) <math>\Rightarrow</math> (iv) <math>\Rightarrow</math> (i)처럼 만드는 것이다. 그리고 이 네 가지 중 두 명제를 아무렇게나 고르면, 그 두 명제는 서로 동치일 것이고, 따라서 이는 네 명제가 동치한다는 것을 의미한다. (i) <math>\Rightarrow</math> (ii): 이것은 선형 연립방정식을 푸는 것에 대한 명제(정의 3.2.의 위)를 통해 참임을 알 수 있다. 그리고 <math>\mathbf x=A^{-1}\mathbf 0=\mathbf 0</math>이다. (ii) <math>\Rightarrow</math> (iii): 선형 연립방정식이 유일한 해를 갖기 때문에 선형 연립방정식 첨가행렬 <math>(A|\mathbf 0)</math>의 RREF는 <math>1</math>인 선행성분이 1열부터 <math>n</math>열까지에만 있고, <math>(n+1)</math>열에서는 그렇지 않다. 즉 <math>(I_n|0)</math>이다. 임의의 기본 행연산들을 연산한 후에도 가장 오른쪽에 있는 열은 여전히 0이므로 <math>A</math>의 RREF는 <math>I_n</math>이다. (iii) <math>\Rightarrow</math> (iv): <math>A</math>의 RREF는 <math>I_n</math>이므로, <math>A</math> 기본행렬 <math>E_1,E_2,\ldots,E_k</math>에 대하여 <math>A</math>의 RREF는 <math>E_k\cdots E_2E_1A</math>와 같고, <math>E_1,E_2,\ldots,E_k</math>, 이는 <math>E_k\cdots E_2E_1A=I_n</math>임을 의미한다. 역행렬의 정의와 일반적인 '역 곱셈'에 의하여 우리는 <math display=block> A=(E_k\cdots E_2E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1} </math> 를 얻을 수 있다: 즉 <math>A</math>는 기본행렬들의 곱이다. (iv) <math>\Rightarrow</math> (i): <math>A</math>는 기본행렬들의 곱인 기본행렬이고, 기본행렬은 가역행렬이므로, 이는 <math>A</math>가 역행렬의 일반적인 '역곱셈'에 의해 가역적이라는 것을 의미한다. }} {{인용문| '''참고''' * 이 정리는 행렬의 가역성을 증명하는 여러 방법을 제공한다: 동치인 하나의 명제를 증명함으로써 증명할 수 있다. :* 이는 아마 증명하기 쉬울 것이다. * 그리고, 동치인 명제의 우리가 어떤 결과에 대해서 논의할 때, 그것들은 이 정리와 엮일 수 있다. }} {{인용문| '''예시''' 행렬 <math display=block> \begin{pmatrix} 1&2\\2&1\\ \end{pmatrix} </math>을 생각하자. 가우스-요르단 소거법으로 RREF를 찾으면: <math display=block> \begin{pmatrix} 1&2\\2&1\\ \end{pmatrix} \overset{-2\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \begin{pmatrix} 1&2\\0&-3\\ \end{pmatrix} \overset{-\frac{1}{3}\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \begin{pmatrix} 1&2\\0&1\\ \end{pmatrix} \overset{-2\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{pmatrix} </math> . 주어진 행렬의 <math>\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}=I_2</math>이므로, 간략화된 가역행렬의 기본정리에 따라 우리는 다음과 같은 결과를 낼 수 있다: (i) <math>\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}</math>는 가역행렬이다. (ii) homogeneous 선형 연립방정식 <math>\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}\mathbf x=\mathbf 0</math>은 오직 자명한 해 <math>\mathbf x=0</math>를 갖는다. (iii) <math>\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}</math>는 기본행렬들의 곱이다. 이를 하나하나 확인해보자. (i): <math display=block>\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1/3&2/3\\2/3&-1/3\\\end{pmatrix}=I_2</math> [[w:Q.E.D.|□]] (ii): 선형 연립방정식은 첨가행렬 <math>\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\\end{pmatrix}</math>로 표현할 수 있고, 가우스-요르단 소거법으로 주어진 행렬의 RREF를 얻을 수 있다: <math display=block> \begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\\end{pmatrix} \overset{-2\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \begin{pmatrix}1&2&0\\0&-3&0\\\end{pmatrix} \overset{-\frac{1}{3}\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\\end{pmatrix} \overset{-2\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}. </math> : 따라서, 우리는 첨가행렬의 RREF를 통해 직접적으로 선형 연립방정식이 오직 하나의 자명한 해를 얻는다는 것을 볼 수 있다. □ (iii): <math display=block> \begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\2&1\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&-3\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\\end{pmatrix} </math> □ }} {{예제| Consider the matrix <math>A=\begin{pmatrix}2&3&1\\3&6&1\\2&0&2\\\end{pmatrix}</math>, and the SLE <math>S=\begin{cases}3x+y&=-2z\\6x+y&=-3z\\y&=-z\end{cases}</math>. <quiz display=simple> {Choose correct statement(s). |type="[]"} - <math>A</math> is invertible || it can be found that RREF of <math>A</math> is <math>\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1/3\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math>, which is not <math>I_3</math> || then, it follows from the simplified invertible matrix theorem - <math>S</math> has unique solution || <math>S\Leftrightarrow \begin{cases}2z+3x+y&=0\\3z+6x+y&=0\\2z+0x+2y&=0\end{cases}\Leftrightarrow A\mathbf x=0</math> || it can be found that RREF of <math>A</math> is <math>\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1/3\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math>, which is not <math>I_3</math> || thus, <math>S</math> has not only trivial solution, and so does not have unique solution + <math>A</math> is not a product of elementary matrices || it can be found that RREF of <math>A</math> is <math>\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1/3\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math>, which is not <math>I_3</math> || then, it follows from the simplified invertible matrix theorem - the RREF of <math>A</math> is <math>\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-3\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math> || it can be found that RREF of <math>A</math> is <math>\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1/3\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math> </quiz> }} 아래 정리로 역행렬을 찾는 간편적이고 효율적인 방법을 얻을 수 있습니다. {{인용문| '''정리 (가우스-요르단 소거법을 사용한 역행렬 찾기)''' <math>A</math>를 크기가 <math>n\times n</math>인 가역행렬이라고 하자. 그러면 (첨가)행렬 <math>(A|I_n)</math>를 유한한 기본행연산을 사용하여 <math>(A|I_n)</math>의 RREF인 (첨가)행렬 <math>(I_n|B)</math> (<math>B</math>의 크기는 <math>A</math>와 같다.)을 만들 수 있다. 그리고 <math>{\color{green}B=A^{-1}}</math>이다. }} {{인용문| '''증명''' 설명: 우리는 <math>({\color{green}I_n}|{\color{blue}B})</math>가 <math>({\color{green}A}|{\color{blue}I_n})</math>의 RREF라는 사실을 이용하여 <math>E_1,\ldots,E_k</math>에 대하여 <math>E_k\cdots E_1({\color{green}A}|{\color{blue}I_n})=({\color{green}I_n}|{\color{blue}B})</math>라고 쓸 수 있다. 따라서 <math>E_k\cdots E_1{\color{green}A}={\color{green}I_n}</math>은 증명가능하고 <math>E_k\cdots E_1{\color{blue}I_n}={\color{blue}B}</math>이다. 이는 <math display=block> {\color{blue}B}{\color{green}A}=(E_k\cdots \underbrace{E_1{\color{blue}I_n}}_{E_1}){\color{green}A}=I_n, </math> 를 따른다. 따라서 <math>B=A^{-1}</math>이다. }} {{인용문| '''참고''' * if <math>A</math>가 가역적이지 않으면, <math>(A|I_n)</math>를 to <math>(I_n|B)</math>로 바꿀 수 없다.(그래도 <math>(A|I_n)</math>의 RREF는 여전히 존재하고, <math>(I_n|B)</math>의 형태가 아닐 뿐이다.) }} {{인용문| '''예시''' <math>A=\begin{pmatrix} 2&0\\2&2 \end{pmatrix}</math>를 상정하자. 몇몇 기본 행연산을 거치면: <math display=block> \left(\begin{array}{cc|cc} 2&0&1&0\\ 2&2&0&1\\ \end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to \left(\begin{array}{cc|cc} 1&0&1/2&0\\ 2&2&0&1\\ \end{array}\right) \overset{-2\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \left(\begin{array}{cc|cc} 1&0&1/2&0\\ 0&2&-1&1\\ \end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \left(\begin{array}{cc|cc} 1&0&1/2&0\\ 0&1&-1/2&1/2\\ \end{array}\right), </math> 우리는 <math>A^{-1}=\begin{pmatrix} 1/2&0\\-1/2&1/2\\ \end{pmatrix}</math>임을 알 수 있다. 이미 앞서 <math>C=\begin{pmatrix}1&3\\4&12\\\end{pmatrix}</math>가 비가역적이라는 것을 증명했다. 이제 <math>(C|I_2)</math>를 <math>B=C^{-1}</math>인 <math>(I_2|B)</math>로 전환하는 것이 불가능함을 보이자. 기본 행연산들로 연산하면: <math display=block> \left( \begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 4&12&0&1\\ \end{array} \right) \overset{-4\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 0&0&-4&1\\ \end{array} \right) \overset{-\frac{1}{4}\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 0&0&1&-1/4\\ \end{array} \right) \overset{-\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&3&0&1/4\\ 0&0&1&-1/4\\ \end{array} \right) </math> 마지막 행렬은 RREF다. 우리는 첫번째 기본 행 연산을 통해 <math>(2,1)</math>의 성분을 0으로 만드는 것을 봤고, <math>(2,2)</math> 또 성분또한 0으로 만들었다. 따라서 이것은 어떤 변환으로든 만드는 것이 불가능하다. }} {{예제| Let <math>E_1,\ldots,E_k</math> be some elementary matrices of same size <math>n\times n</math>. <quiz display=simple> {Choose correct statement(s). |type="[]"} + we can transform <math>(E_1|I_n)</math> to <math>(I_n|B)</math> in which <math>B</math> is of same size as <math>E_1</math> || since <math>E</math> is invertible - we can transform <math>(E_1|I_n)(E_2|I_n)</math> to <math>(I_n|B_1)(I_n|B_2)</math> in which <math>B_1,B_2</math> are of same size as <math>E</math> || <math>(E_1|I_n)(E_2|I_n)</math> and <math>(I_n|B_1)(I_n|B_2) are undefined - we can transform <math>(E_1|I_n)+(E_2|I_n)</math> to <math>(I_n|B_1)+(I_n|B_2)</math> in which <math>B_1,B_2</math> are of same size as <math>E</math> || counterexample: <math>E_1=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\\\end{pmatrix},E_2=\begin{pmatrix}-2&0\\0&1\\\end{pmatrix}</math> || <math>E_1+E_2=O_{2\times 2}</math>, which is not invertible, andthus such transform is impossible + we can transform <math>(A|I_n)</math> to <math>(C|B)</math> in which <math>A,B,C</math> are of same size <math>n\times n</math> || we can always transform <math>(A|I_n)</math> to its RREF using Gauss-Jordan algorithm, and its RREF is in the form of <math>(C|B)</math>, a matrix with size <math>n\times 2n</math> </quiz> }} ==행렬식== 이제 우리는 정사각행렬의 몇몇 성질을 바꾼 것을 더한 행렬식에 대해서 논할 수 있습니다. {{인용문| '''정의 3. 3. (행렬식)''' <math>A=(a_{ij})</math>를 <math>n\times n</math> 행렬이라고 하자. <math>A</math>의 행렬식은 <math>\det A</math>나 <math>|A|</math>와 같이 쓰고, 이것은 재귀적으로 다음과 같이 정의한다: * <math>n=1</math>일 때 행렬식은 <math>\det A=a_{11}</math>로 정의한다. * <math>n\ge1</math>일 때, 각각의 <math>(n-1)\times (n-1)</math> 행렬에 대한 행렬식을 정의를 이미 내렸다고 가정하자. <math>A_{ij}</math>는 <math>A</math>에서 <math>i</math>행과 <math>j</math>열을 뺀 <math>(n-1)\times (n-1)</math> (부분)행렬이라 하자. 그리고 이에 대한 여인수 <math>c_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})</math>를 정의하자. 그러면 행렬식은 <math display=block> \det A=a_{11}c_{11}+a_{12}c_{12}+\cdots+a_{1n}c_{1n}. </math> :와 같이 정의한다. }} {{인용문| '''참고''' * 소행렬은 부분(정사각)행렬의 행렬식이다. * 모든 여인수로 구성된 행렬 <math>(c_{ij})</math>은 여인수행렬이라고 부른다. * <math>n\ge 2</math>에서의 정의는 첫번째 행을 따라서 여인수 전개(혹은 라플라스 전개)한 것이라고도 부른다. * 다르게 표현하면 <math>\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}=\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}</math>으로 표현할 수 있고, 크기가 다른 행렬에 대해서도 비슷한 표현이 있다. * 여인수의 부호는 교대로 나온다. 행렬의 각각의 위치에서의 성분에 대한 여인수의 부호는 다음과 같다: <math display=block> \begin{pmatrix}+&-&+&-&\cdots\\-&+&-&+&\cdots\\+&-&+&-&\cdots\\-&+&-&+&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\\end{pmatrix}, </math> : 마치 체스판처럼 생긴 모양이다. :* 우리는 이 여인수의 부호모양을 나타내는 행렬에서 주대각선에 위치한 여인수는 항상 양수인 것을 볼 수 있다. :* 이는 주대각선은 <math>i</math>행과 <math>j</math>열의 <math>i</math>와 <math>j</math>가 같아서 <math>(-1)^{i+j}=(-1)^{2i}=1^i=1</math>이 되기 때문이다. * ( <math>3 \times 3</math>행렬에서의 <math>i</math>행과 <math>j</math>열을 지운 행렬<math>A_{ij}</math> 예시) <math display=block> \begin{align} \begin{pmatrix} {\color{red}\cancel{a_{11}}}&{\color{red}\cancel{a_{12}}}&{\color{red}\cancel{a_{13}}}\\ {\color{red}\cancel{a_{21}}}&a_{22}&a_{23}\\ {\color{red}\cancel{a_{31}}}&a_{32}&a_{33}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {\color{red}\cancel{a_{11}}}&{\color{red}\cancel{a_{12}}}&{\color{red}\cancel{a_{13}}}\\ a_{21}&{\color{red}\cancel{a_{22}}}&a_{23}\\ a_{31}&{\color{red}\cancel{a_{32}}}&a_{33}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {\color{red}\cancel{a_{11}}}&{\color{red}\cancel{a_{12}}}&{\color{red}\cancel{a_{13}}}\\ a_{21}&a_{22}&{\color{red}\cancel{a_{23}}}\\ a_{31}&a_{32}&{\color{red}\cancel{a_{33}}}\\ \end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix} {\color{red}\cancel{a_{11}}}&a_{12}&a_{13}\\ {\color{red}\cancel{a_{21}}}&{\color{red}\cancel{a_{22}}}&{\color{red}\cancel{a_{23}}}\\ {\color{red}\cancel{a_{31}}}&a_{32}&a_{33}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_{11}&{\color{red}\cancel{a_{12}}}&a_{13}\\ {\color{red}\cancel{a_{21}}}&{\color{red}\cancel{a_{22}}}&{\color{red}\cancel{a_{23}}}\\ a_{31}&{\color{red}\cancel{a_{32}}}&a_{33}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&{\color{red}\cancel{a_{13}}}\\ {\color{red}\cancel{a_{21}}}&{\color{red}\cancel{a_{22}}}&{\color{red}\cancel{a_{23}}}\\ a_{31}&a_{32}&{\color{red}\cancel{a_{33}}}\\ \end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix} {\color{red}\cancel{a_{11}}}&a_{12}&a_{13}\\ {\color{red}\cancel{a_{21}}}&a_{22}&a_{23}\\ {\color{red}\cancel{a_{31}}}&{\color{red}\cancel{a_{32}}}&{\color{red}\cancel{a_{33}}}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_{11}&{\color{red}\cancel{a_{12}}}&a_{13}\\ a_{21}&{\color{red}\cancel{a_{22}}}&a_{23}\\ {\color{red}\cancel{a_{31}}}&{\color{red}\cancel{a_{32}}}&{\color{red}\cancel{a_{33}}}\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&{\color{red}\cancel{a_{13}}}\\ a_{21}&a_{22}&{\color{red}\cancel{a_{23}}}\\ {\color{red}\cancel{a_{31}}}&{\color{red}\cancel{a_{32}}}&{\color{red}\cancel{a_{33}}}\\ \end{pmatrix}\\ \end{align} </math> }} {{인용문| '''예시 (<math>2\times 2</math> 행렬의 행렬식과 <math>3\times 3</math>행렬의 행렬식의 공식)''' <math display=block> \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix} =a_{11}\underbrace{\det(a_{22})}_{a_{22}}-a_{12}\underbrace{\det(a_{21})}_{a_{21}}={\color{green}a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} </math> 그리고 <math display=block> \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} =+a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11} </math> }} <math>3\times 3</math> 행렬에 대한 행렬식 공식으로 아주 유용한 공식이 있습니다. 사루스의 법칙으로 공식은 다음과 같습니다: {{인용문| '''명제 (사루스의 법칙)''' <math>3\times 3</math>행렬에 대해서 다음 그림에서 보여주는 방식을 따라서 계산할 수 있다: [[파일:Determinant-sarrus-colors.svg]], 빨간색 화살표는 이어지는 것끼리 곱해서 양의 값으로, 파란색 화살표는 이어지는 것끼리 곱해서 음의 값으로 더하는 것이다. 좀 더 명확하게 하기 위해서 값을 그림 속의 값을 풀어쓰면 <math>a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}</math>이다. }} {{증명}} 우리는 이미 예제로 했다. 또 하자고? {{증명 끝}} 비록 사루스의 법칙을 직접적으로 사용할 수 없지만, 간접적인 방식으로 <math>4\times 4</math> 행렬의 행렬식을 계산할 수 있습니다. {{인용문| '''예시''' <math display=block> \begin{vmatrix}2&1&0&0\\3&2&5&6\\2&0&2&2\\9&8&7&6\\\end{vmatrix} =2\begin{vmatrix}2&5&6\\0&2&2\\8&7&6\\\end{vmatrix}+0-0 -1\begin{vmatrix}3&5&6\\2&2&2\\9&7&6\\\end{vmatrix} =2[2(2)(6)+5(2)(8)+0(7)(6)-6(2)(8)-5(0)(6)-2(7)(2)] -2[3(2)(6)+5(2)(9)+2(7)(6)-6(2)(9)-5(2)(6)-2(7)(3)] =-40 </math> }} {{인용문| '''명제 (항등행렬과 영행렬의 행렬식)''' 영행렬의 행렬식은 <math>0</math>이고, 항등행렬의 행렬식은 <math>1</math>이다. }} {{증명}} * <math>\det O=0\cdot c_{11}+0\cdot c_{12}+\cdots+0\cdot c_{1n}</math> * <math>\det I_n=1\cdot c_{11}+0\cdot c_{12}+\cdots+0\cdot c_{1n}=c_11=\det I_{n-1}</math> (첫번째 행과 첫번째 열을 뺀 <math>I_n</math>의 부분행렬은 <math>I_{n-1}</math>이다.) :* 따라서 귀납적으로 <math>\det I_n=\det I_{n-1}=\cdots=\underbrace{\det I_1=1}_{\text{by definition}}</math>이다. {{증명 끝}} 여기에 더해서 임의의 행에 대해서 여인수 전개를 사용하여 다음 정리를 따라 행렬식을 계산할 수 있습니다. {{인용문| '''정리 (여인수 전개 정리)''' <math>A=(a_{ij})</math>를 <math>n\times n</math> 행렬이라 하고, <math>c_{ij}</math>를 여인수라고 하자. 그러면 각각의 자연수 <math>i,j</math>에 대해 <math display=block> \det A=a_{i1}c_{i1}+a_{i2}c_{i2}+\cdots+a_{in}c_{in} </math> 이고 <math display=block> \det A=a_{1j}c_{1j}+a_{2j}c_{2j}+\cdots+a_{nj}c_{nj} </math> 이다. }} {{인용문| '''참고''' * 첫번째 공식은 <math>i</math>행을 따라 여인수 전개한 것이고, 두번째 공식은 <math>j</math>열을 따라 여인수 전개한 것이다. }} 일반적인 경우에 대해서 이것을 증명하는 것은 복잡하므로 넘어가겠습니다. {{인용문| '''예시 (여인수 전개 정리에 대한 그림)''' <math display=block> \begin{vmatrix} 2&{\color{green}0}&2&2\\ 1&{\color{green}0}&2&3\\ 3&{\color{green}4}&4&5\\ 8&{\color{green}0}&7&6 \end{vmatrix} =-4\begin{vmatrix} 2&2&2\\ 1&2&3\\ 8&7&6\\ \end{vmatrix} =-4[2(2)(6)+2(3)(8)+2(1)(7)-2(2)(8)-2(1)(6)-3(7)(2)] =0. </math> 우리는 여기서 2열에 대해서 여인수 전개를 하였다. }} {{예제| Let <math>A=\begin{pmatrix}2&0&0&0\\5&3&0&0\\9&6&4&0\\12&4&8&5\\\end{pmatrix}</math>. <quiz display=simple> {Calculate <math>\det A</math>. |type="()"} - 14 - 60 - 104 + 120 || by cofactor expansions along 1st row three times, <math>\det A=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120</math> || {{colored em|Remark}}: the determinant of triangular matrix is product of all of its diagonal entries - 150 {Calculate <math>\det A^T</math>. |type="()"} - 14 - 60 - 104 + 120 || by cofactor expansions along 1st column three times, <math>\det A=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120</math> || {{colored em|Remark}}: the determinant of triangular matrix is product of all of its diagonal entries - 150 {Choose correct statement(s). |type="[]"} - <math>\det A-\det A^T=\det (A-A^T)</math> for each matrix <math>A</math> || counterexample: <math>A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}</math> || then, <math>\det A-\det A^T=0</math>, but <math>\det (A-A^T)=\det\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}=1</math> + determinant of each matrix has only one possible value || this can be seen from the definition - if two matrices have the same determinant, then these two matrices are the same || determinant can be regarded as a many-to-one function || so, determinants of two different matrices may be the same || e.g. <math>\det I_2=\begin{vmatrix}2&1\\1&1\\\end{vmatrix}=1</math> - determinant of submatrices of a matrix <math>A</math> must be smaller than the determinant of <math>A</math> || counterexample: <math>A=\begin{pmatrix}1&0&0\\999&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}</math> || a submatrix of <math>A</math> is <math>\begin{pmatrix}999&0\\0&1\\\end{pmatrix}</math>, and its determinant is <math>999</math> || while determinant of <math>A</math> is <math>0</math> </quiz> }} 이제 우리는 계산을 위한 간단한 몇가지 행렬의 성질을 논할 수 있습니다. {{인용문| '''명제 (기본 행 연산을 할 때의 행렬식의 변화)''' <math>A</math>를 정사각행렬이라 하자. * (치환) <math>A</math>의 두 행을 바꿀 때, 행렬식은 <math>-1</math>를 곱한다. * (스칼라 곱셈) <math>A</math>의 한 행에 <math>0</math>이 아닌 상수 <math>k</math>를 곱할 때, 행렬식은 <math>k</math>를 곱한다. * (덧셈) <math>A</math>의 한 행에 다른 행을 곱한 것을 더할 때, 행렬식에는 변화가 없다. }} {{인용문| '''증명''' 설명: * (치환)예시 <math display=block> \begin{align} \begin{vmatrix}{\color{green}a_{11}}&{\color{green}a_{12}}&{\color{green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} &={\color{green}a_{11}}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -{\color{green}a_{12}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +{\color{green}a_{13}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ {\color{green}a_{11}}&{\color{green}a_{12}}&{\color{green}a_{13}}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} &=-{\color{green}a_{11}}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} +{\color{green}a_{12}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} -{\color{green}a_{13}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix}{\color{green}a_{11}}&{\color{green}a_{12}}&{\color{green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} \end{align} </math> * (스칼라 곱셈)예시 <math display=block> \begin{vmatrix}{\color{green}ka_{11}}&{\color{green}ka_{12}}&{\color{green}ka_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} ={\color{green}ka_{11}}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -{\color{green}ka_{12}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +{\color{green}ka_{13}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix} =k\left({\color{green}a_{11}}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -{\color{green}a_{12}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +{\color{green}a_{13}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\right) =k\begin{vmatrix}{\color{green}a_{11}}&{\color{green}a_{12}}&{\color{green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} </math> * (덧셈)예시 <math display=block> \begin{align} \begin{vmatrix}{\color{green}a_{11}}+{\color{blue}ka_{21}}&{\color{green}a_{11}}+{\color{blue}ka_{22}}&{\color{green}a_{11}}+{\color{blue}ka_{22}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} &=({\color{green}a_{11}}+{\color{blue}ka_{21}})\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -({\color{green}a_{12}}+{\color{blue}ka_{22}})\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +({\color{green}a_{13}}+{\color{blue}ka_{23}})\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\\ &=\underbrace{{\color{green}a_{11}}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -{\color{green}a_{12}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +{\color{green}a_{13}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}_{\begin{vmatrix}{\color{green}a_{11}}&{\color{green}a_{12}}&{\color{green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}} +\underbrace{{\color{blue}ka_{21}}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -{\color{blue}ka_{22}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +{\color{blue}ka_{23}}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}} _{\begin{vmatrix}{\color{blue}ka_{21}}&{\color{blue}ka_{22}}&{\color{blue}ka_{23}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}\\ &=\begin{vmatrix}{\color{green}a_{11}}&{\color{green}a_{12}}&{\color{green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} +{\color{blue}k}\underbrace{\begin{vmatrix}{\color{blue}a_{21}}&{\color{blue}a_{22}}&{\color{blue}a_{23}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}_0\\ &=\begin{vmatrix}{\color{green}a_{11}}&{\color{green}a_{12}}&{\color{green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix} \end{align} </math> }} {{인용문| '''참고''' * 스칼라 곱셈과 관련된 성질에서 <math>k</math>가 0일 수 있고, 그 때의 행렬식도 0을 곱한 것과 같다. 물론 <math>k</math>를 곱할 때 <math>k=0</math>이면 스칼라 곱셈에 해당하지 않는다. * 두개의 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이다. 아래의 따름정리에 따라 치환의 결과로 알 수 있다. * 이 명제의 관점에서 우리는 좀 더 쉽게 행렬식을 계산하는 전략을 세울 수 있다: :* 스칼라 곱셈을 통해 공약수를 꺼내 성분들의 숫자를 줄여 계산을 쉽게한다. :* 덧셈을 성분들을 더 많이 <math>0</math>으로 바꾼다. :* 여인수 전개를 <math>0</math>이 많은 행 또는 열에 대해서 사용한다. * 명제에서 언급한 기본 행연산 말고도 기본 '열'연산에도 적용할 수 있다. :* 이는 전치행렬의 행렬식이 원래 행렬의 행렬식과 같기 때문이다.(행렬식의 성질에 관한 명제에서 언급할 것이다.) :* 그래서 다양한 관점에서 연산을 살펴보면 기본 열연산을 적용하는 것은 근본적으로 기본 행연산을 적용하는 것과 같다. ::* 기본 열연산들을 기본 행연산에서의 <math>\mathbf r</math> (행)을 <math>\mathbf c</math> (열)로 바꿔 비슷한 표현을 얻을 수 있다. }} {{인용문| '''예시 (방데르몽드 행렬)''' <math display=block> \begin{vmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\\\end{vmatrix} \overset{-\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}{\overset{-\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}=} \begin{vmatrix}1&a&a^2\\0&b-a&b^2-a^2\\0&c-a&c^2-a^2\\\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}b-a&(b-a)(b+a)\\c-a&(c-a)(c+a)\end{vmatrix} =(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&b+a\\1&c+a\\\end{vmatrix} =(b-a)(c-a)(c+a-b-a)=(b-a)(c-a)(c-b) </math> }} {{인용문| '''따름정리''' 두 개의 행이 같은 정사각행렬의 행렬식은 <math>0</math>이다. }} {{인용문| '''증명''' <math>A</math>를 두 개의 행이 같은 정사각행렬이라 하자. <math>A</math>의 같은 두 개의 행을 바꿔도 여전히 행렬은 바뀌지 않는다. 그러나 두 개의 행렬식은 <math>-1</math>을 곱한 값이다. 즉, <math display=block> \det A=-\det A\Leftrightarrow 2\det A=0\Leftrightarrow \det A=0. </math> 이것은 정의나 귀납법으로도 증명이 가능하다. }} {{예제| <quiz display=simple> {Calculate <math>\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\\\end{vmatrix}</math>. ({{colored em|Hint}}: apply type III EROs or ECOs multiple times, without affecting the value of determinant, to ease computaion) |type="()"} - 10 - 16 - 80 + 160 ||<math>\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\\\end{vmatrix}\overset{\mathbf r_2+\mathbf r_3+\mathbf r_4+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to \begin{vmatrix}10&10&10&10\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\\\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\\\end{vmatrix}\overset{-\mathbf c_1+\mathbf c_2\to\mathbf c_2}{\overset{-\mathbf c_1+\mathbf c_3\to\mathbf c_3}{{\overset{-\mathbf c_1+\mathbf c_4\to\mathbf c_4}=}}}10\begin{vmatrix}1&0&0&0\\2&1&2&-1\\3&1&-2&-1\\4&-3&-2&-1\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&-2&-1\\-3&-2&-1\\\end{vmatrix}=10(16)=160</math> - 320 </quiz> }} 이제 행렬의 가역성을 정하는 간편한 방법을 소개합니다. 그 전에 다음 보조정리 먼저 살펴봅시다. {{인용문| '''보조정리''' 각각의 기본행렬 <math>E</math>와 <math>A</math>에 대해, <math display=block> \det(EA)=(\det E)(\det A). </math> }} {{인용문| '''증명''' * (치환: <math>\mathbf r_i\leftrightarrow\mathbf r_j</math>) <math>\det E=-1</math> 그리고 <math>\det(EA)=-\det A=(\det E)(\det A)</math> (행들을 바꿨기 때문) * (스칼라 곱셈: <math>k\mathbf r_i\to\mathbf r_i</math>) <math>\det E=k</math> 그리고 <math>\det(EA)=k\det A=(\det E)(\det A)</math> (행에 <math>0</math>이 아닌 상수를 곱했기 때문) * (덧셈: <math>k\mathbf r_j+\mathbf r_i\to\mathbf r_i</math>) <math>\det E=1</math> 그리고 <math>\det (EA)=\det A=(\det E)(\det A)</math> (한 행에 다른 행의 곱을 더했기 때문) }} {{인용문| '''정리 (행렬식을 통한 가역성 결정)''' 정사각행렬은 행렬식이 <math>0</math>이 아닐 때만 가역적이다. }} {{인용문| '''증명''' * '행렬식이 0일 때 가역적'인 부분: 간략화한 가역행렬의 기본정리를 통해 행렬<math>A</math>는 <math>A</math>와 똑같은 가역행렬이면서 기본행렬들의 곱이다. 이를 기본행렬 <math>E_1,\ldots,E_k</math>를 통해 나타내면, <math display=block> \begin{align} && A&=E_1E_2\cdots E_k\\ &\Rightarrow& \det A&=(\det E_1)\det(\underbrace{E_2E_3\cdots E_k}_{\text{a matrix}})\quad(\text{not }\Leftrightarrow\text{ since determinant function is many-to-one})\\ && &=(\det E_1)\det(E_2)\det(E_3\cdots E_k)\\ && &=\cdots\\ && &=(\det E_1)\det(E_2)\cdots(\det E_k) \end{align} </math> * '가역적이면 행렬식이 0'인 부분: 기본행렬 <math>E_1,\ldots,E_k</math>에 대해 <math>A=E_1\cdots E_kR</math>, <math>R</math>을 <math>A</math>의 RREF라고 하자. 이는 다음을 함의한다. <math display=block> \det A=(\det E_1)\cdots(\det E_k)(\det R). </math> : <math>\det A\ne 0</math>이므로 <math>\det R\ne 0</math>이다. 따라서 <math>R</math>는 모든 성분이 <math>0</math>인 행을 가지지 않는다.(그런 행을 가지면 행렬식은 0이어야 할 것이다.) <math>R</math>는 RREF이므로 이는 <math>R=I</math>임을 의미한다. (<math>R</math>는 정사각행렬이므로, 모든 열이 선행성분을 갖는 것은 아니면, RREF에 의해 뒤쪽의 행에 적어도 하나는 모든 성분이 <math>0</math>인 행이 존재한다.) 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해 <math>A</math>는 가역적이다. }} 이 결과를 얻고 나서, 행렬식을 쉽게 계산할 수 있는 행렬식의 성질을 말할 수 있습니다. {{인용문| '''명제 (행렬식의 성질)''' <math>A</math>와 and <math>B</math>를 같은 크기의 정사각행렬이라고 하자. 그럼 다음을 따른다. * (곱셈) <math>\det(AB)=(\det A)(\det B)</math> * (전치 후의 행렬식 불변) <math>\det(A^T)=\det A</math> * (역행렬의 행렬식과 행렬식의 역수) <math>\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}</math> }} {{인용문| '''증명''' * (곱셈) <math>E_1,\ldots,E_k</math>를 기본행렬이라고 하고, <math>R</math>을 <math>A</math>의 RREF라고 할 때 <math>A=E_1\cdots E_kR</math>를 생각하자. <math display=block> \det(A{\color{green}B})=(E_1\cdots E_kR{\color{green}B}) =(\det E_1)\cdots(\det E_k)\det(R{\color{green}B}), </math> : 그리고 <math display=block> (\det A)(\det {\color{green}B})=(\det E_1)\cdots(\det E_k)(\det R)(\det {\color{green}B}). </math> :* 이제, <math>\det(RB)=(\det R)(\det B)</math>임을 증명하는 것이 남아있다. :* <math>R=I</math>이면, <math>\det(RB)=\det B=(\det R)(\det B)</math>이다. :* <math>R\ne I</math>이면, <math>R</math>의 마지막행은 모든 성분이 <math>0</math>이고, 따라서 <math>\det R=0=(\underbrace{\det R}_0)(\det B)</math> ::* <math>RB</math>의 마지막 행 역시 모든 성분이 <math>0</math>이며, 따라서 <math>\det (RB)=0=(\det R)(\det B)</math>이다. * (전치 후의 행렬식 불변) 여인수 전개 정리와 귀납법을 통해 증명할 수 있을 것이다. 예) <math>\begin{vmatrix}{\color{green}1}&{\color{green}2}&{\color{green}3}\\4&5&6\\7&8&9\\\end{vmatrix}</math> vs. <math>\begin{vmatrix}{\color{green}1}&4&7\\{\color{green}2}&5&8\\{\color{green}3}&6&9\\\end{vmatrix}</math> * (역행렬의 행렬식과 행렬식의 역수) 곱셈을 사용하여, <math display=block> AA^{-1}=I\implies (\det A)(\det(A^{-1}))=\det I=1\implies\det(A^{-1})=(\det A)^{-1} </math> (<math>A</math>는 가역적이므로 <math>\det A\ne 0</math>) }} {{인용문| '''예시''' 행렬 <math>A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\3&4&5&6\\4&5&6&7\\\end{pmatrix}</math>를 생각하자. <math display=block> \det A\overset{-2\mathbf r_2+\mathbf r_3+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}= \begin{vmatrix} 0&0&0&0\\2&3&4&5\\3&4&5&6\\4&5&6&7\\ \end{vmatrix} =0 </math>이므로, <math>A</math>는 비가역적이다. 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해, 다음과 같은 결과를 지닌다: * homogeneous 선형 연립방정식 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>은 자명한 해만을 가지지 않는다. * <math>A</math>의 RREF는 항등행렬 <math>I</math>가 아니다. * <math>A</math>는 기본 행렬들의 곱으로 표현될 수 없다. }} {{예제| <quiz display=simple> {Choose correct statement(s). |type="[]"} + if <math>A</math> and <math>B</math> are non-invertible, then <math>AB</math> is also non-invertible || if <math>A,B</math> are non-invertible, <math>\det A=0,\det B=0</math>, and so <math>\det(AB)=\det A\det B=0</math> + if <math>A</math> and <math>B</math> are invertible, then <math>AB</math> is also invertible || if <math>A,B</math> are non-invertible, <math>\det A\ne 0,\det B\ne 0</math>, and so <math>\det(AB)=\det A\det B\ne 0</math> - if <math>A</math> and <math>B</math> are non-invertible, then <math>A+B</math> is also non-invertible || counterexample: <math>A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}</math>. They are non-invertible, but <math>A+B=I_2</math> is invertible - if <math>A</math> and <math>B</math> are invertible, then <math>A+B</math> is also invertible || counterexample: <math>A=I_2,B=-I_2</math>. They are invertible, but <math>A+B=O_{2\times 2}</math> is non-invertible - <math>\det(A+B)=\det A+\det B</math> for each matrix <math>A,B</math> || counterexample: <math>A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}</math>. || <math>\det A=\det B=0</math>, but <math>\det (A+B)=\det I_2=1</math> + <math>\det(AB)=\det(BA)</math> for each matrix <math>A,B</math> || <math>\det (AB)=(\det A)(\det B)=\det (BA)</math> + <math>\det(A^n)=(\det A)^n</math> for each matrix <math>A</math> and for each integer <math>n\ge -1</math> || if <math>n=-1</math>, it follows from the properties of determinants directly || for <math>n=0</math>, <math>\det(A^0)=\det I=1=(\det A)^0</math> || for each <math>n\ge 1</math>, <math>\det(A^n)=\det(AA^{n-1})=(\det A)(\det (A^{n-1})=\cdots=(\det A)^n</math> </quiz> }} 이제, 역행렬의 연산과 관련된 주목할만한 결과를 가지고 있는 수반행렬에 대해서 소개할 수 있을 것 같습니다. {{인용문| '''정의 3. 4. (수반행렬(adjugate matrix))''' <math>A</math>를 <math>n\times n</math> 행렬이라 하자. <math>A</math>의 수반행렬은 <math>\operatorname{adj} A</math>로 표기하고, 이 행렬은 <math>(i,j)</math>번째 성분이 여인수 <math>c_{ji}</math>인 <math>n\times n</math> 행렬이다. }} {{인용문| '''참고''' * <math>\operatorname{adj} A</math>는 <math>A</math>의 여인수 행렬의 전치행렬이다. 즉, <math>\operatorname{adj} A=(c_{ij})^T</math> :* 이는 수반행렬을 계산하는데 더 자주 쓰이는 방법이다. }} {{인용문| '''정리 (행렬식과 수반행렬의 관계)''' <math>A</math>를 <math>n\times n</math> 행렬이라고 하자. 그러면, <math display=block> A(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A)A=(\det A)I_n </math>이다. }} 증명은 복잡하므로 넘깁니다. {{인용문| '''따름 정리 (역행렬 공식)''' <math>A</math>가 가역적이면, 그 역행렬은 <math display=block> A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A </math>로 주어진다. }} {{인용문| '''증명''' <math display=block> A(\operatorname{adj} A)=(\det A)I_n \Leftrightarrow A\left(\frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A\right)=I_n \Leftrightarrow A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A </math> }} {{인용문| '''예시 (<math>2\times 2</math> 행렬의 역행렬 공식)''' <math>A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}</math>라 하자. 따라서 <math display=block> A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\begin{pmatrix}(-1)^{1+1}a_{22}&(-1)^{1+2}a_{21}\\(-1)^{2+1}a_{12}&(-1)^{2+2}a_{11}\end{pmatrix}^{\color{green}T} =\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{pmatrix} </math>이다. 즉, <math>2\times 2</math>행렬의 역행렬을 찾기 위해서는 <math>(1,1)</math>와 <math>(2,2)</math>번째 성분을 서로 바꾸고 <math>(1,2)</math>번째와 <math>(2,1)</math>번째 성분에 <math>-1</math>를 곱하고(이 때는 서로를 안 바꿈) 행렬식의 역수를 곱함으로써 구할 수 있다. }} {{인용문| '''예시 (비가역행렬의 수반행렬)''' <math>A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\3&4&5\\\end{pmatrix}</math>를 생각하자. 그러면 <math display=block> \operatorname{adj} A= \begin{pmatrix} \begin{vmatrix}2&3\\4&5\\\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&3\\3&5\\\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}2&3\\4&5\\\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&3\\3&5\\\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}2&3\\2&3\\\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&3\\1&3\\\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\1&2\end{vmatrix}\\ \end{pmatrix}^{\color{green}T} =\begin{pmatrix} -2&4&-2\\ 2&-4&2\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix} -2&2&0\\ 4&-4&0\\ -2&2&0\\ \end{pmatrix} </math>이다. 또한, <math display=block> A(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A)A=O=\det A(I_3)=0(I_3) </math>이다. }} {{예제| <quiz display=simple> {Using matrix adjugate, solve the SLE <math>\begin{cases}x+2y+3z&=3\\4x+2y+3z&=6\\6x+3y+9z&=9\end{cases}</math>. It is given that this SLE has an unique solution. |type="{}"} Its unique solution is: <math>x=</math>{ 1 _2} <math>y=</math>{ 1 _2} <math>z=</math>{ 0 _2} || we may express the SLE in the form of <math>A\mathbf x=\mathbf b</math> || in which <math>A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&2&3\\6&3&9\\\end{pmatrix},\mathbf x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\9\\\end{pmatrix}</math> || So, the solution of SLE is <math>\mathbf x=A^{-1}\mathbf b</math> since it has unique solution || then, we can compute <math>A^{-1}</math> using <math>\operatorname{adj} A</math>, || and we can compute that <math>\operatorname{adj} A=\begin{pmatrix}9&-9&0\\-18&-9&9\\0&9&-6\end{pmatrix}</math>, and thus || <math>A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A=\begin{pmatrix}-1/3&1/3&0\\2/3&1/3&-1/3\\0&-1/3&2/9\end{pmatrix}</math> </quiz> }} 이제, 마지막으로, 크라메르 공식이라는 이름이 붙은 선형 연립방정식의 유일한 해를 직접적으로 계산하는 방법을 소개하겠습니다. {{인용문| '''정리 (크라메르 공식)''' Let <math>A\mathbf x=\mathbf b</math>를 <math>n\times n</math>가역행렬 <math>A</math>와 <math>\mathbf x=(x_1,\ldots,x_n)^T</math>(열을 표현하기에는 자리 차지가 심하므로 <math>1\times n</math> 행렬의 전치인 <math>\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T</math> 표현을 사용할 것이다.)에 대한 선형 연립방정식이라 하자. 또, <math>\Delta=\det A</math>라고 표현하고, <math>\Delta_k</math>를 각각의 <math>k\in\{1,2,\ldots,n\}</math>에 대하여 <math>A</math>의 <math>k</math>열을 열 <math>\mathbf b</math>로 대체한 행렬식이라 하자. 선형 연립방정식의 유일한 해는 다음과 같이 주어진다. <math display=block> (x_1,x_2,\ldots,x_n)=\left(\frac{\Delta_1}{\Delta},\frac{\Delta_2}{\Delta},\ldots,\frac{\Delta_n}{\Delta}\right) </math> }} {{인용문| '''증명''' <math>A</math>가 가역적이므로, 선형 연립방정식의 유일한 해는 <math>\mathbf x=A^{-1}\mathbf b</math>이다. 역행렬 공식을 사용하면 <math display=block> A^{-1}\mathbf b=\frac{1}{\Delta}(\operatorname{adj} A)\mathbf b. </math>를 얻는다. 따라서 각각의 <math>k\in\{1,2,\ldots,n\}</math>에 대하여, <math display=block> x_k=\frac{1}{\Delta}(c_{1k}b_1+c_{2k}b_2+\cdots+c_{nk}b_n)=\frac{\Delta_k}{\Delta} </math> (<math>c_{1k},c_{2k},\ldots,c_{nk}</math>는 <math>\operatorname{adj} A</math>의 <math>k</math>행 위의 성분이고(그리고 <math>A</math>의 여인수 행렬의 <math>k</math>열 위의 성분이기도 하다.), 따라서 위와 같이 성분을 곱하면 <math>x_k</math>라고 하는 <math>\mathbf x</math>의 <math>(k,1)</math>성분을 얻는다. }} {{인용문| '''예시''' 선형 연립방정식 <math display=block> \begin{cases} x+2y+3z&=1\\ 3x+6y+4z&=0\\ 2+9y+2z&=0\\ \end{cases} </math> 을 고려하자. <math display=block> \begin{align} \Delta&=\begin{vmatrix}1&2&3\\3&6&4\\2&9&2\\\end{vmatrix}=25,\\ \Delta_1&=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&9&2\\\end{vmatrix}=-24,\\ \Delta_2&=\begin{vmatrix}1&1&3\\3&0&4\\2&0&2\\\end{vmatrix}=2,\\ \Delta_3&=\begin{vmatrix}1&2&1\\3&6&0\\2&9&0\\\end{vmatrix}=15 \end{align} </math>이므로 이 선형 연립방정식의 유일한 해는 <math display=block> (x,y,z)=\left(\frac{\Delta_1}{\Delta},\frac{\Delta_2}{\Delta},\frac{\Delta_3}{\Delta}\right) =\left(-\frac{24}{25},\frac{2}{25},\frac{15}{25}\right) =\left(-\frac{24}{25},\frac{2}{25},\frac{3}{5}\right) </math>이다. }} {{예제| Solve the SLE <math>\begin{cases}2x+3y+5z&=0\\4x+6y+10z&=1\\5x+3y+5z&=2\end{cases}</math>. {{hide|Solution.| Since <math>\begin{vmatrix}2&3&5\\4&6&10\\5&3&5\\\end{vmatrix}=0</math>, the matrix <math>\begin{pmatrix}2&3&5\\4&6&10\\5&3&5\\\end{pmatrix}</math> is non-invertible. Thus, we {{colored em|cannot}} use Cramer's rule. Instead, we can transform the augmented matrix representing the SLE to RREF, as follows: <math display=block> \begin{align} \begin{pmatrix} 2&3&5&0\\ 4&6&10&1\\ 5&3&5&2\\ \end{pmatrix} &\overset{\frac{1}{2}\mathbf r_1\to\mathbf r_1}{\to} \begin{pmatrix} 1&\frac{3}{2}&\frac{5}{2}&0\\ 4&6&10&1\\ 5&3&5&2\\ \end{pmatrix}\\ &\overset{-4\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}{\to} \begin{pmatrix} 1&\frac{3}{2}&\frac{5}{2}&0\\ 0&0&0&1\\ 5&3&5&2\\ \end{pmatrix}\\ &\overset{-5\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}{\to} \begin{pmatrix} 1&\frac{3}{2}&\frac{5}{2}&0\\ 0&0&0&1\\ 0&-\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}&2\\ \end{pmatrix}\\ &\overset{\mathbf r_2\leftrightarrow\mathbf r_3}{\to} \begin{pmatrix} 1&\frac{3}{2}&\frac{5}{2}&0\\ 0&-\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}&2\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}\\ &\overset{-\frac{2}{9}\mathbf r_2\to\mathbf r_2}{\to} \begin{pmatrix} 1&\frac{3}{2}&\frac{5}{2}&0\\ 0&1&\frac{5}{3}&-\frac{4}{9}\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}\\ &\overset{-\frac{3}{2}\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}{\to} \begin{pmatrix} 1&0&0&\frac{2}{3}\\ 0&1&\frac{5}{3}&-\frac{4}{9}\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \end{align} </math> Since there is a leading one at the 4th column, the SLE is inconsistent. }} }} [[분류:선형대수학 입문|역행렬과 행렬식]]
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선형대수학 입문/역행렬과 행렬식
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