선형대수학 입문/선형 연립방정식 문서 원본 보기

== 선형 연립방정식의 행렬꼴 ==
우리는 선형 연립방정식을 행렬꼴로 나타내기 전에 그것이 뭔지 정의할 필요가 있습니다.
{{인용문|
'''정의 2.1. 선형 연립방정식'''

자연수 <math>n</math>개의(우리 논의에서 0은 자연수가 아니다.) 미지수 <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math>의 선형 연립방정식은 다음 형태의 방정식 묶음으로 나타낸다.
<math display=block>
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\
\quad\qquad\qquad\qquad\vdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,
\end{cases}
</math>
여기서 <math>a_{ij}</math>와 <math>b_k</math>는 어떤 상수다.}}
{{인용문|
'''참고'''

* 몇몇 다른 정의에서는 하나의 선형 방정식(계수가 1인 방정식) 역시도 선형 연립방정식으로 취급하는 경우가 있지만, 하나의 선형 방정식은 풀기 쉽고, 이런 경우는 우리의 관심에서 멀기 때문에, 우리는 이걸 고려하지 않을 것이다.
}}

앞으로 선형 연립방정식을 기술할 때 '일관적'(consistent), 그리고 '모순적'(혹은 비일관적, inconsistent)이라는 단어를 사용할 것입니다.
[[파일:Three Lines.svg|섬네일|두 미지수가 있고, 세 개의 선형 방정식(선)이 있는 이 그림은 세 선이 동시에 지나는 점이 없으므로 일관적이지 않다.]]
{{인용문|
'''정의 2.2. (선형 연립방정식의 일관성)'''

선형 연립방정식은 적어도 하나의 해가 있으면 일관적이다.
그렇지 않으면 모순적이다.(따라서 해가 하나도 없으면 모순적이다.)}}
{{인용문|
'''참고'''

* 우리가 나중에 볼 것이지만, 선형 연립방정식은 해가 전혀 없거나, 하나만 있거나, 무수히 많다. 따라서 선형 연립방정식이 일관적이면 해가 유일하거나 무수히 많은 것은 동치다.
}}
{{인용문|
'''예시 (일관적인 선형 연립방정식)'''

다음 선형 연립방정식을 고려하자.
<math display=block>
\begin{cases}
x+2y=3&\quad(1)\\
3x+6y=9&\quad(2)
\end{cases}.
</math>
여기서
<math display=block>
(2)\iff 3x+6y=9\iff (3/3)x+(6/3)y\iff (9/3)\iff x+2y=3\iff (1)
</math>
이므로, 이 선형 연립방정식의 해는 <math>x+2y=3</math>를 만족하는 <math>(x,y)</math>이다.
따라서 이 선형 연립방정식의 해는 무수하게 많고, 그러므로 일관적이다.
}}
{{인용문|
'''예시 (모순적인 선형 연립방정식)'''

다음 선형 연립방정식을 고려하자.
<math display=block>
\begin{cases}
x+2y=3&\quad(1)\\
x+2y=4&\quad(2)
\end{cases}.
</math>
<math>(2)</math>에 <math>(1)</math>을 대입하면,
<math display=block>
3=4
</math>
이고, 말이 안되는 소리이므로 두 방정식을 만족하는 <math>(x,y)</math>는 존재하지 않는다.
이는 선형 연립방정식의 해가 없다는 것이고, 따라서 이 선형 연립방정식은 모순적이다. 
}}
{{인용문|
'''예시 (선형 연립방정식의 응용)'''

10병의 오렌지 주스가 닭, 오리, 거위에게 배당한다고 하자.
닭과 오리에게 똑같은 개수의 병이 주어지고, 거위는 닭과 오리에 비해 한 병 더 많다고 하면
각각의 동물에게 얼마의 병이 배당되었는가?

답:

닭, 오리, 거위에게 할당된 오렌지 주스 병의 개수를 각각 <math>c,d, g</math>라고 하자.
그러면 주어진 상황과 조건에 따라 우리는 다음과 같은 선형 연립방정식을 세울 수 있다.
<math display=block>
\begin{cases}
c+d+g=10&\quad(1)\\
c=d&\quad(2)\\
g=c+1&\quad(3)
\end{cases}
</math>
여기서 <math>c,d,g</math>는 모두 음이 아닌 정수다.

<math>(2)</math>와 <math>(3)</math>을 <math>(1)</math>에 대입하면
<math display=block>
c+c+c+1=10\implies c=3.
</math>
따라서 <math>d=c=3</math>이고 <math>g=c+1=4</math>이다. 

즉, 닭과 오리는 각각 3개의 오렌지 주스 병이 배당되었고, 거위는 4개의 오렌지 주스 병이 배당되었다.
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Choose SLE(s) from the following.
|type="[]"}
- <math display=block>\begin{cases}x^2+y^2=1\\2x+3y=4\end{cases}</math>
|| <math>x^2+y^2=1</math> is nonlinear (i.e. not in the form of the equations in the definition of SLE)
+ <math display=block>\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}</math>
|| it may be also expressed as <math display=block>\begin{cases}x+0y=1\\0x+y=2\end{cases}</math>, and then we can see that it is SLE
+ <math display=block>\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}</math>
|| it is SLE, even if it is inconsistent 
+ <math display=block>\begin{cases}\pi x+\sqrt \pi y=\ln 2\\x+y\sqrt 2=2\end{cases}</math>
|| even if some coefficients are irrational, this is still SLE

{The final score of each student (the highest possible score is <math>100</math>) is a weighted average of the score of the student in test 1 and test 2 (full marks of test 1 and test 2 are both <math>100</math>).
Student A gets <math>90</math> and <math>80</math> marks from test 1 and test 2 respectively, and student B gets <math>75</math> and <math>100</math> marks from test 1 and test 2 respectively. Suppose the weighting on the scores of test 1 and test 2 are <math>w_1</math> and <math>w_2</math> respectively. 
It is given that the final score of student A is <math>85.23</math> exactly.
Which of the following is (are) true?
|type="[]"}
- the given information is not sufficient to compute <math>w_1</math> and <math>w_2</math> 
- one possible allocation of weightings is given by <math>(w_1,w_2)=(0.6,0.390375)</math> 
|| this is impossible since <math>w_1+w_2\ne 1</math> 
- the final score of student B is the same as that of student A
+ the final score of student B is strictly higher than that of student A
|| from the situation and the given condition, we have the following SLE:
|| <math display=block>\begin{cases}90w_1+80w_2=\\w_1+w_2=1\end{cases}</math>
|| solving this, we get <math>w_1=0.523</math> and <math>w_2=0.477</math> 
|| in particular, we have <math>w_1+w_2=1</math>, since the final score is computed based on test 1 and test 2 only, so the sum of weightings must be <math>1</math>
|| after obtaining the weighting, we can compute the final score of student B, which is <math>75(0.523)+100(0.477)=86.925</math> 
- the final score of student B is strictly lower than that of student A
- we do not know whether the final score of student B is higher, lower than, or the same as that of student A
</quiz>
}}

선형 연립방정식을 정의했으므로, 우리는 이것을 다양한 방법의 행렬 꼴로 표현할 수 있다. 그리고 그것을 다음과 같이 정의한다.
{{인용문| '''정의 2.3 (계수행렬과 첨가행렬)'''

<math display=block>
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\
\quad\qquad\qquad\qquad\vdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m
\end{cases}
</math>
를 미지수 <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math>가 주어지고, <math>a_{ij}</math>와 <math>b_k</math>는 어떤 상수인 선형 연립방정식을 생각하자.

행렬 <math>{\color{green}(a_{ij})_{m\times n}}</math>은 연립방정식의 계수 행렬이라 하고, 행렬
<math display=block>
\left(
\begin{array}{cccc|c}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_n
\end{array}
\right)
</math>
은 연립방정식의 첨가행렬이라고 한다.}}
{{인용문|
'''참고'''

* 첨가행렬에서 수직선은 선택적인 것으로, 상수를 '<math>=</math>'의 왼쪽과 오른쪽으로 나누기 위해 선형 연립방정식에서 사용한다.
* 이 연립방정식은 다음과 똑같다.
<math display=block>
\underbrace{\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}}_{\text{계수}\;A\text{표현}}
\underbrace{\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}}_{\text{미지수}\;\mathbf x\text{표현}}
=
\underbrace{\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n
\end{pmatrix}}_{\text{상수}\;\mathbf b\text{표현}},
</math>
:이는 <math>A\mathbf x=\mathbf b</math>로 다시 쓸 수 있다. 
* 미지수가 어떤 상수인지 특정할 수 없기 때문에 미지수만 표현하는 것은 중요하지 않다. 따라서 첨가행렬은 연립방정식을 푸는데 필수적인 정보를 준다.}}
{{인용문|
'''예시(계수행렬과 첨가행렬)'''

선형 연립방정식
<math display=block>
\begin{cases}
w+x+y=1\\
w+z=3\\
x+z=8
\end{cases}
</math>
을 고려하자. 이것을 달리 표현하면 다음과 같다.
<math display=block>
\begin{cases}
w+x+y+0z=1\\
w+0x+0y+z=3\\
0w+x+0y+z=8
\end{cases}
</math>

선형 연립방정식의 계수행렬은
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&1&1&0\\
1&0&0&1\\
0&1&0&1
\end{pmatrix}
</math>
이고, 선형 연립방정식의 첨가행렬은
<math display=block>
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&1&1&0&1\\
1&0&0&1&3\\
0&1&0&1&8
\end{array}
\right)
</math>
이다. 우리는 이 선형 연립방정식을 또
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&1&1&0\\
1&0&0&1\\
0&1&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
w\\
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1\\
3\\
8
\end{pmatrix}
</math>
로 표현할 수 있고 또 <math>A\mathbf x=\mathbf b</math>로 사용할 수 있다. 
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Choose SLE(s) from the following.
|type="[]"}
- <math>(a_{ij})_{3\times 3}</math> 
- <math>\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\ 4&5&6\end{array}\right)</math>
+ <math>\begin{pmatrix}1&2\\ 4&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}</math>
- <math>A\mathbf x=\mathbf b</math> in which <math>A</math> is a <math>3\times 2</math> matrix, <math>\mathbf x,\mathbf b</math> are <math>3\times 1</math> matrices.
|| the matrix product <math>A\mathbf x</math> is undefined since the number of columns of <math>A</math> is different from the number of rows of <math>\mathbf x</math> 

{A SLE is represented by the {{colored em|augmented}} matrix
<math display=block>\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&6\\0&0&0&0&1&0&3\\0&0&0&1&0&0&8\\0&0&0&0&0&1&2\end{pmatrix}.</math> 
Choose correct statement(s).
|type="[]"}
+ one possible solution is <math>(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(0,0,6,3,8,2)</math> 
|| this is true since the naming of variables is arbitrary
+ one possible solution is <math>(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(0,0,6,8,3,2)</math> 
|| this is true since the naming of variables is arbitrary
- the size of the coefficient matrix of this SLE is <math>6\times 7</math> 
|| the size of the {{colored em|augmented}} matrix is <math>6\times 7</math> instead
|| the size of the coefficient matrix is <math>6\times 6</math> 
+ the SLE in the question has unique solution
|| for each naming of variables, the solution is unique
|| the naming of variables of the SLE in the question is one of all possible naming of variables
|| so the solution is unique for the SLE in the question

{Which of the following is (are) the augmented matrix (matrices) representing the SLE
<math display=block>\begin{cases}x+2y=3\\6x+8y+2z=0\end{cases}</math>
?
|type="[]"}
- the augmented matrix of this SLE does not exist
+ <math>\begin{pmatrix}1&2&0&3\\ 6&8&2&0\end{pmatrix}</math> 
- <math>\begin{pmatrix}1&2&3\\ 6&8&2\end{pmatrix}</math> 
- <math>\begin{pmatrix}1&2&0\\ 6&8&2\end{pmatrix}</math> 

{Choose augmented matrix (matrices) that represents an inconsistent SLE from the following.
|type="[]}
+ <math>\begin{pmatrix}1&1&1\\ 6&6&0\end{pmatrix}</math>
|| using <math>x,y</math> to name the variables,
|| it represents <math>\begin{cases}x+y=1\\6x+6y=0\end{cases}</math> 
+ <math>\begin{pmatrix}1&1\\ 2&3\end{pmatrix}</math>
|| using <math>x</math> to name the variable,
|| it represents <math>\begin{cases}x=1\\2x=3\end{cases}</math> 
+ <math>I_2</math>
|| using <math>x</math> to name the variable,
|| it represents <math>\begin{cases}x=0\\0=1\end{cases}</math> 
+ <math>I_3</math>
|| using <math>x,y</math> to name the variables,
|| it represents <math>\begin{cases}x=0\\y=0\\0=1\end{cases}</math> 
- <math>O_{2\times 2}</math> 
|| using <math>x,y</math> to name the variables,
|| it represents <math>\begin{cases}0x+0y=0\\0x+0y=0\end{cases}</math> 
|| the solution is <math>(x,y)</math> in which <math>x,y</math> are real numbers
</quiz>
}}
==가우스-요르단 소거법==
{{인용문|
'''정의 2.4. (기본 행 연산)'''
행렬에서 적용할 수 있는 기본 행 연산에는 세 가지가 있다:

* 두 행의 치환
* 행에 0이 아닌 스칼라의 곱셈
* 한 행에 다른 행의 스칼라배 더하기
}}
{{인용문|
'''참고'''

기본 행 연산에서 다음과 같은 표기를 따를 것이다:
* <math>\mathbf r_1,\mathbf r_2,\ldots,\mathbf r_m</math>: <math>m\times n</math> 행렬의 행 (행은 원래 벡터이므로 '''볼드체'''를 쓴다.)
* <math>\mathbf r_{\color{blue}i} {\color{green}\leftrightarrow} \mathbf r_{\color{red}j}</math>: <math>\color{blue}i</math>번째 행과 <math>\color{red}j</math>번째 행을 치환
* <math>{\color{green}k}\mathbf r_i\to \mathbf r_i</math>: <math>i</math>번째 행에 0이 아닌 스칼라 <math>\color{green}k</math>를 곱하기 
* <math>{\color{purple}k}\mathbf r_{\color{red}j} {\color{green}+}\mathbf r_{\color{blue}i}\to \mathbf r_{\color{blue}i}</math>: <math>\color{blue}i</math>번째 행에 <math>\color{purple}k</math>배를 한 <math>\color{red}j</math>번째 행 더하기 
}}
{{인용문|
'''정의 2.5. (행 동치, Row equivalence)'''
같은 크기의 두 행렬에 대하여 한 행렬에다가 어떤 기본 행연산을 실행해서 다른 행렬을 만들어낼 수 있으면 서로 '''행 동치'''다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 기본 행연산은 (성질에 의해)가역적이라서 행렬 <math>B</math>를 기본 행연산으로 행렬 <math>A</math>로 바꿀 수 있으면 <math>A</math>도 기본 행연산을 통해 <math>B</math>로 만들어낼 수 있다.(각각의 연산의 역을 찾고 순서에 맞게 잘 정리해서 얻어낼 수 있다.)
:* 따라서 행 동치를 증명하기 위해서 어떤 한 쪽의 행렬이 다른 쪽의 행렬로 기본 행연산을 하면 같아진다는 것만 증명하면 된다.(물론 두 행렬의 크기는 같아야한다.) 이에 대한 증명은 아래에서 할 것이다.
}}
{{인용문|
'''예시 (Demonstration of three types of EROs)'''

행렬
<math display=block>
A=\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}\\
{\color{blue}4}&{\color{blue}5}&{\color{blue}6}\\
{\color{green}7}&{\color{green}8}&{\color{green}9}
\end{pmatrix}
</math>
을 생각하자. 그러면 기본 행연산은 다음을 같이 연산한다:
<math display=block>
\begin{align}
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}\\
{\color{blue}4}&{\color{blue}5}&{\color{blue}6}\\
{\color{green}7}&{\color{green}8}&{\color{green}9}
\end{pmatrix}
&\overset{\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_3}\to
\begin{pmatrix}
{\color{green}7}&{\color{green}8}&{\color{green}9}\\
{\color{blue}4}&{\color{blue}5}&{\color{blue}6}\\
{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}
\end{pmatrix}\\
&\overset{\pi\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to
\begin{pmatrix}
{\color{green}7}\pi&{\color{green}8}\pi&{\color{green}9}\pi\\
{\color{blue}4}&{\color{blue}5}&{\color{blue}6}\\
{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}
\end{pmatrix}\\
&\overset{2\mathbf r_2+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}\to
\begin{pmatrix}
{\color{green}7}\pi&{\color{green}8}\pi&{\color{green}9}\pi\\
{\color{blue}4}&{\color{blue}5}&{\color{blue}6}\\
2({\color{blue}4})+{\color{red}1}&2({\color{blue}5})+{\color{red}2}&2({\color{blue}6})+{\color{red}3}\\
\end{pmatrix}\\
&\overset{-2\mathbf r_2+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}\to
\begin{pmatrix}
{\color{green}7}\pi&{\color{green}8}\pi&{\color{green}9}\pi\\
{\color{blue}4}&{\color{blue}5}&{\color{blue}6}\\
{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}\\
\end{pmatrix}\\
&\overset{(1/\pi)\mathbf r_1\rightarrow\mathbf r_1}\to
\begin{pmatrix}
{\color{green}7}&{\color{green}8}&{\color{green}9}\\
{\color{blue}4}&{\color{blue}5}&{\color{blue}6}\\
{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}\\
\end{pmatrix}\\
&\overset{\mathbf r_1\rightarrow\mathbf r_3}\to
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}\\
{\color{blue}4}&{\color{blue}5}&{\color{blue}6}\\
{\color{green}7}&{\color{green}8}&{\color{green}9}\\
\end{pmatrix}=A.
\end{align}
</math>
여기에 보여진 각각의 행렬은 각자 <math>A</math>로 가는 기본 행연산이 주어져있기 때문에 <math>A</math>와 행 동치를 이루고, 
<math>A</math>와 같은 크기를 가진다.(그리고 기본 행연산에 대한 이전으로 돌아가는 역산도 보여준다.) 
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Which of the following is (are) row equivalent to <math>I_3</math>, the identity matrix with size <math>3\times 3</math>? 
|type="[]"}
- <math>I_4</math> 
+ <math>\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}</math> 
|| it can be obtained from <math>I_3</math> by performing the ERO <math>\mathbf r_1\leftrightarrow \mathbf r_2</math> 
|| {{colored em|remark}}: it is an example of {{colored em|elementary matrix}} of type I, which will be defined later
+ <math>\begin{pmatrix}9&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}</math> 
|| it can be obtained from <math>I_3</math> by performing the ERO <math>9\mathbf r_1\to \mathbf r_1</math> 
|| {{colored em|remark}}: it is an example of {{colored em|elementary matrix}} of type II, which will be defined later
+ <math>\begin{pmatrix}1&0&0\\-7&1&12\\-8&0&1\\\end{pmatrix}</math> 
|| it can be obtained from <math>I_3</math> by performing the EROs <math>-7\mathbf r_1+\mathbf r_2\to \mathbf r_2,12\mathbf r_3+\mathbf r_2\to\mathbf r_2,-8\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3</math>, {{colored em|in this order}}  
+ <math>\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}</math> 
|| it equals <math>\begin{pmatrix}0&1&0\\9&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}</math> 
|| it can be obtained from <math>I_3</math> by performing the EROs <math>\mathbf r_1\leftrightarrow \mathbf r_2, 9\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math>, {{colored em|in this order}}  

{Choose correct statement(s).
|type="[]"}
- after performing EROs <math>\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2,\mathbf r_2\leftrightarrow\mathbf r_3,\mathbf r_3\leftrightarrow\mathbf r_1</math>, {{colored em|in this order}}, on a matrix with at least three rows, the resultant matrix is the same as the original matrix
|| counterexample: after performing these EROs in this order on <math>I_3</math>, we get <math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{pmatrix}\ne I_3</math>  
- after performing the ERO <math>3\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2</math> on <math>I_2</math>, we get <math>\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}</math>  
|| we get this matrix from <math>I_2</math> by performing the ERO <math>3\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math> 
|| after performing this ERO on <math>I_2</math>, we get instead <math>\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}</math>  
- given two arbitrary EROs, performing them on the same matrix in different orders give the same resultant matrix
|| counterexample: performing <math>\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2,\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_3</math> in this order and performing <math>\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_3,\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2</math> on <math>I_3</math> gives 
|| <math>\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}</math> and
|| <math>\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{pmatrix}</math> respectively
|| actually, this is false in general
- given two arbitrary EROs, performing them on the same matrix in different orders give the different resultant matrices
|| counterexample: performing <math>2\mathbf r_1\to\mathbf r_1,\frac{1}{2}\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math> in different orders on <math>I_2</math> gives <math>I_2</math>  
</quiz>
}}
{{인용문|
'''성질 (기본 행연산의 가역성)'''

행렬<math>B</math>에 적절한 기본 행연산으로 행렬 <math>A</math>를 만들 수 있다면, <math>A</math> 역시도 적절한 기본 행연산으로 <math>B</math>로 바꿀 수 있다.(역과정에서 사용한 기본 행연산은 조금 다를 수 있다.)
}}
{{증명}}
설명:
각자의 기본 행연산에는 역과정이 있고(다시 말해 모든 기본 행연산은 그 역과정과 같이 존재하고, 이것은 행렬에 영향을 미치지 못한다.), 이의 역과정은 다음과 같다:
* 치환 기본 행연산 <math>\mathbf r_i\leftrightarrow \mathbf r_j</math>의 역과정 역시 <math>\mathbf r_i\leftrightarrow \mathbf r_j</math>이다.
* 스칼라곱 기본 행연산 <math>k\mathbf r_i\to \mathbf r_i</math>의 역과정은 스칼라곱 기본행연산 <math>\frac{1}{k}\mathbf r_i\to\mathbf r_i</math> (<math>k=0</math>일 때의 이 연산 자체가 정의되어 있지 않다. 이것이 <math>k</math>가 반드시 0이 아니어야 하는 이유고, 따라서 역과정이 존재한다.)
* 덧셈 기본 행연산 <math>k\mathbf r_j+\mathbf r_i\to\mathbf r_i</math>의 역과정은 덧셈 기본 행연산 <math>-k\mathbf r_j+\mathbf r_i\to\mathbf r_i</math>이다.
{{증명 끝}}
{{인용문|
'''예시 (각각의 기본 행연산의 역과정들)'''
* 치환:
<math display=block>
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
\overset{\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2}\to
\begin{pmatrix}
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
{\color{red}1}&{\color{red}2}\\
\end{pmatrix}
\overset{\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2}\to
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
</math>
* 스칼라곱:
<math display=block>
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
\overset{{\color{green}k}\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}{\color{green}k}&{\color{red}2}{\color{green}k}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
\overset{{\color{green}\frac{1}{k}}\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}{\color{green}\cancel k}\cdot{\color{green}\frac{1}{\cancel k}}&{\color{red}2}{\color{green}\cancel k}\cdot{\color{green}\frac{1}{\cancel k}}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
\quad (k\ne 0)
</math>
* 덧셈:
<math display=block>
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
\overset{{\color{green}k}\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}+{\color{blue}3}{\color{green}k}&{\color{red}2}+{\color{blue}4}{\color{green}k}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
\overset{{\color{green}-k}\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}\cancel{+{\color{blue}3}{\color{green}k}-{\color{blue}3}{\color{green}k}}
&{\color{red}2}\cancel{+{\color{blue}4}{\color{green}k}-{\color{blue}4}{\color{green}k}}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}2}\\
{\color{blue}3}&{\color{blue}4}\\
\end{pmatrix}
</math>
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Choose correct ERO(s) that is (are) the reverse process of the ERO <math>2^{-1}\mathbf r_3\to\mathbf r_3</math>. 
|type="[]"}
- <math>2\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math> 
+ <math>2\mathbf r_3\to\mathbf r_3</math> 
- <math>2^{-1}\mathbf r_3\to\mathbf r_3</math> 
- <math>2^{-1}\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math> 


{Choose correct ERO(s) that is (are) the reverse process of the ERO <math>2^{-1}\mathbf r_3+\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math>. 
|type="[]"}
- <math>-2^{-1}\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3</math> 
- <math>-2\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3</math> 
+ <math>-2^{-1}\mathbf r_3+\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math> 
- <math>-2\mathbf r_3+\mathbf r_1\to\mathbf r_1</math> 
</quiz>
}}
{{인용문|
'''성질 (행 동치와 해)'''

<math>A\mathbf x=\mathbf b</math>와 <math>C\mathbf y=\mathbf d</math>인 방정식 개수와 변수의 개수가 같은 두 개의 선형 연립방정식을 생각해보자.
첨가행렬 <math>(A|\mathbf b)</math>와 <math>(C|\mathbf d)</math>가 행 동치이면, 두 개의 연립방정식은 같은 해들을 갖는다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

설명: 하나의 기본 행연산으로 해들이 바뀌지 않음을 보이기만 하면 충분하다. 예를 들어
* 치환:
<math display=block>
\begin{cases}
x+2y=3\\
4x+5y=6\\
\end{cases}
\text{ and }
\begin{cases}
4x+5y=6\\
x+2y=3\\
\end{cases}
\text{비 교}\;
</math>
* 스칼라 곱셈:
<math display=block>
\begin{cases}
x+2y=3\\
4x+5y=6\\
\end{cases}
\text{ and }
\begin{cases}
kx+2ky=3k\\
4x+5y=6\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x+2y=3\\
4x+5y=6\\
\end{cases}
\quad (k\ne 0)
\text{비 교}\;
</math>
* 덧셈:
<math display=block>
\begin{cases}
x+2y=3\\
4x+5y=6\\
\end{cases}
\text{ and }
\begin{cases}
x+2y=3&\quad(1)\\
(4+k)x+(5+2k)y=6+3k&\quad(2)\\
\end{cases}
\text{비 교}\;
</math>
<math>(1)-k(2):</math> 
<math display=block>
(4+k-k)x+(5+2k-2k)y=6+3k-3k
\iff
4x+5y=6
</math>
}}
{{예제|
Consider three row equivalent matrices
<math display=block>
A=\begin{pmatrix}
7&5&3&4\\
6&2&3&2\\
4&8&1&6\\
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
1&0&0&-1\\
0&1&0&1\\
0&0&1&2\\
\end{pmatrix},
C=\begin{pmatrix}
7&5&3&4\\
0&16&-3&10\\
0&0&1&2
\end{pmatrix}.
</math>
<quiz display=simple>
{Solve the SLE <math display=block>\begin{cases}7x+5y+3z&=4\\6x+2y+3z&=2\\4x+8y-z&=6\end{cases}.</math> 
|type="{}"}
Its unique solution:
<math>x=</math>{ -1 _2}
<math>y=</math>{ 1 _2}
<math>z=</math>{ 2 _2}
|| the augmented matrix representing this SLE is <math>A</math> 
|| since <math>A</math> and <math>B</math> are row equivalent,
|| its solution set is the same as the SLE represented by <math>B</math> (as augmented matrices)
|| then we can directly read the solution set from the SLE 

{Solve the SLE <math display=block>\begin{cases}3x+5y+7z&=4\\-3x+16y&=10\\x&=2\end{cases}.</math> 
|type="{}"}
Its unique solution:
<math>x=</math>{ 2 _2}
<math>y=</math>{ 1 _2}
<math>z=</math>{ -1 _2}
|| by some rearranging, the SLE becomes
|| <math display=block>\begin{cases}7z+5y+3x=4\\+16y-3x&=10\\x&=2\end{cases}.</math>
|| then we can see that this SLE is represented by the augmented matrix <math>C</math>, with 1st, 2nd, 3rd column representing the coefficients of <math>z,y,x</math> respectively
|| since <math>C</math> and <math>B</math> are row equivalent, the solution set of this SLE is the same as the SLE represented by the augmented matrix <math>B</math> with 1st, 2nd, 3rd column representing the coefficients of <math>z,y,x</math> respectively
</quiz>
}}
{{인용문|
'''정의 2.6. (선행성분)'''

행렬의 행의 선행성분은 0이 아닌 가장 왼쪽에 있는 성분이다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

아래 행렬의 첫번째, 두번째 세번째 행의 선행성분은
<math display=block>
\begin{pmatrix}
0&{\color{blue}2}&3\\
0&0&{\color{blue}3}\\
{\color{blue}8}&6&2\\
\end{pmatrix}
</math>
각각 <math>2,3,8</math>이다.
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{What is the leading entry of the first row of <math>O_{3\times 3}</math>?
|type="()"}
- 0
- 1
- 2
- 3
+ it does not exist


{What is the leading entry of the first row of <math>I_{3\times 3}</math>?
|type="()"}
- 0
+ 1
- 2
- 3
- it does not exist
</quiz>
}}
{{인용문|
'''정의 2.7. (사다리꼴행렬)'''

다음 조건을 만족하는 행렬은 행사다리꼴행렬(혹은 사다리꼴행렬, 약자 REF)이다.
# 모든 성분이 <math>0</math>인 행은 (존재한다면)행렬의 가장 밑자리에 놓여있다.
# <math>0</math>이 아닌 성분이 하나라도 포함된 행의 선행성분은 반드시 항상 위 행렬의 선행성분의 오른쪽에 있다.
}}
{{인용문|
'''정의 2.8. (기약행사다리꼴행렬)'''

다음 조건을 만족하는 행렬을 기약행사다리꼴행렬(Reduced-Row Echelon Form matrix, RREF)이라 한다.
# 사다리꼴 행렬이다.
# <math>0</math>이 아닌 성분이 하나라도 포함된 행의 선행성분이 <math>{\color{green}1}</math>이다.(이를 선행 1(leading one)이라고 부른다.)
# 각각의 선행 1에 대해서 같은 열의 다른 모든 성분은 0이다.
}}
{{인용문|
'''예시(REF와 RREF)'''

* RREF가 아닌 REF:
<math display=block>
\begin{pmatrix}
{\color{blue}3}&2&1&1\\
0&{\color{blue}2}&9&4\\
0&0&0&{\color{blue}7}\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
{\color{blue}3}&2&1&1\\
0&{\color{blue}2}&9&4\\
0&0&0&{\color{blue}7}\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&0&{\color{blue}3}&2&1&0\\
0&0&0&0&0&{\color{blue}2}\\
0&0&0&0&0&0\\
\end{pmatrix}
</math>
* RREF 행렬들(그리고 당연하게 REF이기도 하다.):
<math display=block>
\begin{pmatrix}
{\color{blue}1}&{\color{green}0}&7&{\color{green}0}&1\\
{\color{green}0}&{\color{blue}1}&9&{\color{green}0}&2\\
{\color{green}0}&{\color{green}0}&0&{\color{blue}1}&9\\
{\color{green}0}&{\color{green}0}&0&{\color{green}0}&0\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
{\color{blue}1}&{\color{green}0}&7&{\color{green}0}&1\\
{\color{green}0}&{\color{blue}1}&9&{\color{green}0}&2\\
{\color{green}0}&{\color{green}0}&0&{\color{blue}1}&9\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
{\color{blue}1}&{\color{green}0}&7&{\color{green}0}\\
{\color{green}0}&{\color{blue}1}&9&{\color{green}0}\\
{\color{green}0}&{\color{green}0}&0&{\color{blue}1}\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&{\color{blue}1}&{\color{green}0}&{\color{green}0}\\
0&{\color{green}0}&{\color{blue}1}&{\color{green}0}\\
0&{\color{green}0}&{\color{green}0}&{\color{blue}1}\\
\end{pmatrix},
I,
O
</math>
* REF가 아닌 행렬들(마찬가지로 RREF도 아니다.):
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&2&1&1\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}\\
0&1&9&4\\
0&0&0&1\\
0&0&0&0\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0&{\color{red}1}\\
0&0&{\color{red}1}&2&1&0\\
0&0&0&0&0&0\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&2&3\\
{\color{red}4}&5&6\\
{\color{red}7}&8&9\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&0&{\color{red}1}\\
0&{\color{red}1}&0\\
{\color{red}1}&0&0\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
{\color{red}1}&0&0\\
0&{\color{red}1}&0\\
0&{\color{red}1}&0\\
\end{pmatrix}
</math>
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Choose RREF(s) from the following.
|type="[]"}
- <math>\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&0\end{pmatrix}</math> 
- <math>\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{pmatrix}</math> 
- <math>\begin{pmatrix}2&0&2&2\\0&2&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}</math> 
+ <math>\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\0&0\end{pmatrix}</math> 
- <math>\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&2&0\end{pmatrix}</math> 

{How many possible values are there for <math>x</math> such that the matrix
<math display=block>\begin{pmatrix}x&0&0&1\\0&x&2x&0\\x&x&1&3\end{pmatrix}</math>
is in RREF?
|type="()"}
+ 0
|| if <math>x\ne 0</math>, the colored <math>x</math> in <math>\begin{pmatrix}{\color{blue}x}&0&0&1\\0&{\color{blue}x}&2x&0\\{\color{blue}x}&x&1&3\end{pmatrix}</math> are leading entries
|| then it is not RREF, since the leading entry of 3rd row is on the left of the leading entry of 2nd row
|| if <math>x=0</math>, the 2nd row is zero row, which does not lie at the bottom of the matrix, so it is also not RREF in this case
|| it follows that this matrix is impossible to be RREF
- 1
- 2
- 3
- infinitely many

{Consider the matrix
<math display=block>\begin{pmatrix}y&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&y&0&y&0\\0&0&0&y&0&0&0&y\\0&0&0&0&0&0&y&y\\\end{pmatrix}</math>
How many possible values are there for <math>y</math> such that the matrix is in REF?
|type="()"}
+ 0
|| since the zero row is located at the 3rd row, and does not lie at its bottom, the matrix is not REF regardless of the value of <math>y</math> 
- 1
|| consider 3rd row of the matrix
- 2
|| consider 3rd row of the matrix
- 3
|| consider 3rd row of the matrix
- infinitely many
|| consider 3rd row of the matrix

{Consider the matrix
<math display=block>\begin{pmatrix}0&x&0&0\\0&0&y&0\\0&0&0&z\end{pmatrix}</math> 
How many possible values are there for <math>(x,y,z)</math> such that the matrix is in RREF?
|type="()"}
- 6
- 7
+ 8
|| the possible values of <math>(x,y,z)</math> are
|| <math>(x,y,z)=(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)</math> 
- 9
- infinitely many
</quiz>
}}
{{인용문|
'''정의 2.9. (가우스-요르단 소거법)'''

가우스-요르단 소거법은 행렬에 기본 행연산을 적용하여 RREF(기약행사다리꼴행렬) 행렬로 바꾸는 방법이다.
가우스-요르단 소거법은 다음의 과정을 따른다:
# 가장 왼쪽에 있는 <math>0</math>이 아닌 성분이 하나라도 포함된 열에 대해서 <math>i</math>열이라고 하자. (필요하다면) <math>i</math>열의 첫번째 성분 <math>a</math>가 <math>0</math>이 아니게 되도록 행을 바꾼다. 
# 첫번째 행에 <math>a^{-1}</math>을 곱해 <math>i</math>열의 첫번째 성분이 <math>1</math>이 되게 한다.
# <math>i</math>열의 <math>0</math>이 아닌 성분 <math>b</math>가 있는 각각의 행에 첫번째 행에 <math>-b</math>를 곱한 것을 더하여 그 성분을 <math>0</math>으로 만든다.
# 첫번째 행을 제외한 모든 행의 모든 성분이 <math>0</math>이면 과정은 끝났다. 아니라면, 첫번째 행을 제외하고, 다른 행 중에서 선행성분이 가장 왼쪽에 있는 행을 (필요하다면)두번째 행과 바꾼다. 이 때의 열을 <math>j</math>열이라고 하고, 선행성분을 <math>c</math>라고 하자. 
# 두번째 행에 <math>c^{-1}</math>를 곱해서 <math>j</math>열의 두번째 행을 <math>1</math>로 만든다.
# <math>j</math>열의 각각의 <math>0</math>이 아닌 성분 <math>d</math>가 있는 행에 add 두번째 행에 <math>-d</math>를 곱한 것을 더해서그 성분을 <math>0</math>으로 만든다. 
# 위 과정을 반복하여 모든 열과 행에 대해 적용하거나, 나머지 행을 0으로 만들어버린다. 그러면 이 결과로 나온 행렬은 RREF 행렬이다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 행렬 <math>A</math>의 RREF 행렬에 대해 기본 행연산을 잘 수행하면 <math>A</math>를 얻을 수 있다.
:* 모든 행렬에 가우스-요르단 소거법을 사용할 수 있으므로, 모든 행렬은 RREF 행렬이 존재한다.
* 행렬의 RREF 행렬은 유일하다. (증명은 복잡하니 생략한다.) 
* 가우스-요르단 소거법의 몇몇 다른 정의에서는 과정이 다를 수 있지만, 그래도 여전히 행렬을 그것의 RREF로 바꿀 수 있다. 
* 인터넷을 뒤져보면 쉽게 가우스-요르단 소거법이나 여타 기본 행연산에 관련된 계산을 하는 [https://www.math.odu.edu/~bogacki/cgi-bin/lat.cgi 이런 사이트]를 찾아볼 수 있을 것이다.
}}
{{인용문|
'''예시 (가우스-요르단 소거법)'''

<math display=block>
\begin{align}
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
3&3&2\\
8&2&6\\
\end{pmatrix}
&\overset{\mathbf r_1\leftrightarrow\mathbf r_2}\to
\begin{pmatrix}
3&3&2\\
0&0&1\\
8&2&6\\
\end{pmatrix}&\text{과 정 1}\\
&\overset{\frac{1}{3}\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to
\begin{pmatrix}
1&1&2/3\\
0&0&1\\
8&2&6\\
\end{pmatrix}&\text{과 정 2}\\
&\overset{-8\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}\to
\begin{pmatrix}
1&1&2/3\\
0&0&1\\
0&-6&2/3\\
\end{pmatrix}&\text{과 정 3}\\
&\overset{\mathbf r_2\leftrightarrow\mathbf r_3}\to
\begin{pmatrix}
1&1&2/3\\
0&-6&2/3\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}&\text{과 정 4}\\
&\overset{-\frac{1}{6}\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to
\begin{pmatrix}
1&1&2/3\\
0&1&-1/9\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}&\text{과 정 5}\\
&\overset{-\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to
\begin{pmatrix}
1&0&7/9\\
0&1&-1/9\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}&\text{과 정 6}\\
&\overset{\frac{1}{9}\mathbf r_3+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}{\overset{-\frac{7}{9}\mathbf r_3+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}&\text{과 정 7}
\end{align}
</math>
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Solve the SLE
<math display=block>\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\end{cases}</math> using Gauss-Jordan algorithm.
|type="{}"}
Its unique solution:
<math>x=</math> { -1 _2 }
<math>y=</math> { 2 _2 }
|| the augmented matrix representing this SLE is
|| <math>\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\overset{-4\mathbf r_1\to\mathbf r_2}\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\end{pmatrix}\overset{-\frac{1}{3}\mathbf r_2\to\mathbf r_2}\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}\overset{-2\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}\to\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}</math> 
|| then we can read the solution directly from the RREF of the augmented matrix
</quiz>

Prove that the RREF of the matrix
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&4&2&1&0&0\\
3&1&5&0&1&0\\
0&1&0&0&0&1
\end{pmatrix}
</math>
is
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&0&0&-5&2&18\\
0&1&0&0&0&1\\
0&0&1&3&-1&-11\\
\end{pmatrix},
</math>

and
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&4&2\\
3&1&5\\
0&1&0\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-5&2&18\\
0&0&1\\
3&-1&-11\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}
=I_3
</math>
}}
{{인용문|
'''성질 (선형 연립방정식의 해의 개수 결정)'''

<math>A\mathbf x=\mathbf b</math>를 <math>m</math>개의 선형 방정식과 <math>n</math>개의 미지수로 구성된 선형 연립방정식이라 하자. 그리고 <math>R</math>을 크기가 <math>m\times (n+1)</math>인 첨가행렬 <math>(A|\mathbf b)</math>의 RREF라고 하자.
그러면 다음을 따른다.
* <math>R</math>이 <math>{\color{green}(n+1)}</math>열에서 선행성분(<math>=1</math>)을 가지고 있으면, 이 연립방정식은 모순적이다.
* <math>R</math>이 <math>{\color{green}(n+1)}</math>을 제외한 각각의 열에서 선행성분을 가지고 있으면, 이 연립방정식의 해는 유일하다.
* <math>R</math>이 <math>{\color{green}(n+1)}</math>열에서 선행성분을 가지고 있지 않고, 이 열을 제외한 각각의 열에 선행성분을 모두 가지고 있는 것이 아니라면, 이 연립방정식의 해는 무수히 많다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

<math>R</math>은 위 세가지 중 반드시 하나만을 만족해야 하므로, 선형 연립방정식의 해는 반드시 0개이거나(존재하지 않거나), 1개 이거나(유일하거나) 무수히 많다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

<math>3\times 4</math>의 RREF 첨가행렬로 표현된 선형 연립방정식
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&2&0&0\\
0&0&1&0\\
{\color{green}0}&{\color{green}0}&{\color{green}0}&{\color{green}1}\\
\end{pmatrix}
</math>
는 4열에 선행성분을 가지고 있으므로 모순적이다.

<math>4\times 4</math>의 RREF 첨가행렬로 표현된 선형 연립방정식
<math display=block>
\begin{pmatrix}
{\color{green}1}&0&0&2\\
0&{\color{green}1}&0&3\\
0&0&{\color{green}1}&3\\
0&0&0&0\\
\end{pmatrix}
</math>
는 앞의 3개의 열은 선행성분을 갖지만, 4열은 그렇지 않으므로 유일한 해를 갖는다.

<math>3\times 4</math>의 RREF 첨가행렬로 표현된 선형 연립방정식
<math display=block>
\begin{pmatrix}
{\color{green}1}&3&0&2\\
0&0&{\color{green}1}&3\\
0&0&0&0\\
\end{pmatrix}
</math>
는 앞의 3개의 열 중 선행성분이 존재하지 않은 열(2열)이 있고,
동시에 4열에도 선행성분이 존재하지 않으므로 무수히 많은 해를 가진다.
이 행렬을 선형 연립방정식으로 표현하면
<math display=block>
\begin{cases}
x+3y=2\\
z=3\\
\end{cases}
</math>
이다. <math>y</math>를 독립 미지수 <math>t</math>로 두어 <math>y=t</math>로 표현하면
<math>x=2-3t</math>이고 <math>z=3</math>이므로, <math>x</math> 역시도 하나의 해로 결정할 수 없다.  
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 독립 미지수(혹은 자유변수)들은 선행성분이 없는 열에 대응되는 미지수들이다.
* 종속 미지수(혹은 기본변수)들은 선행성분이 있는 열에 대응되는 미지수들이다.
}}
{{예제|
It is given that the RREF of the matrix
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&4&5&6&8\\
4&6&7&4&4\\
4&2&3&6&7\\
1&7&5&3&6\\
\end{pmatrix}
</math>
is
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&0&0&0&\frac{-31}{51}\\
0&1&0&0&\frac{4}{3}\\
0&0&1&0&\frac{-89}{51}\\
0&0&0&1&2\\
\end{pmatrix}.
</math>
Denote the SLE's
<math display=block>
\begin{cases}
5w+4x+y+6z&=8\\
7w+6x+4y+4z&=4\\
3w+2x+4y+6z&=7\\
5w+7x+y+3z&=6\\
\end{cases},
\begin{cases}
5w+4x+y+6z&=8\\
7w+6x+4y+4z&=4\\
3w+2x+4y+6z&=7\\
5w+7x+y+3z&=6\\
0w+0x+0y+0z&=0\\
\end{cases},
\begin{cases}
5w+4x+y+6z&=8\\
7w+6x+4y+4z&=4\\
3w+2x+4y+6z&=7\\
5w+7x+y+3z&=6\\
w+x+y+z&=1\\
\end{cases},
</math>
by <math>A</math>, <math>B</math> and <math>C</math> respectively.
<quiz display=simple>
{Does <math>A</math> have no solutions, a unique solution, or infinitely many solutions?
|type="()"}
- no solutions
+ a unique solution
- infinitely many solutions


{Does <math>B</math> have no solutions, a unique solution, or infinitely many solutions?
|type="()"}
- no solutions
+ a unique solution
- infinitely many solutions

{Does <math>C</math> have no solutions, a unique solution, or infinitely many solutions?
|type="()"}
+ no solutions
|| Putting the unique solution satisfying the first four linear equations <math>(y,x,w,z)(\frac{-31}{51},\frac{4}{3},\frac{-89}{51},2)</math> into the last linear equation,
|| we get <math>\frac{50}{51}=1</math>, which is always false
|| so there does not exist a solution such that all five linear equations are satisfied
|| it follows that <math>C</math> has no solutions
- a unique solution
- infinitely many solutions
</quiz>
}}
{{인용문|
'''정의 2.10. (homogeneous한 선형 연립방정식)'''

선형 연립방정식의 꼴이 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>이면 homogeneous하다. 
Homogeneous한 연립방정식은 모든 방정식의 꼴이 미지수항<math>=0</math>이라 해를 가지기 때문에, 자명한 해의 정의에 의해 항상 일관적일 수 밖에 없다.
만약에 다른해가 존재한다면 그 해를 자명하지 않은 해라고 부른다.
}}
<ref group="해">Homogeneous라는 단어의 마땅한 번역어는 없습니다. Homogeneous라는 단어는 라틴어 homos(같은)+genos(종)이라는 단어의 조합으로 동질의, 동등한, 동차(次)의, 균질한 등으로 번역을 할 수는 있지만, 한 단어로 대응되는 것은 아닙니다.</ref>
{{인용문|
'''참고'''

Homogeneous한 선형 연립방정식은 선형 연립방정식의 해의 개수의 결정에 대한 성질과 homogeneous한 선형 연립방정식들은 일관적이어야만 한다는 사실에 기반하여 homogeneous한 선형 연립방정식들은 해를 갖지 않는다는 가능성 자체를 배제할 수 있기에 단 하나의 유일한 해를 갖거나, 무수히 많은 해들을 가진다.
}}
{{인용문|
'''예시(homogeneous한 선형 연립방정식)'''

선형 연립방정식 
<math display=block>
\begin{cases}
x+y+z&=0\\
2x+8y+3z&=0\\
2x+4y+6z&=0\\
\end{cases}
</math>
은 homogeneous하고, 따라서 일관적이다.

게다가, 이 선형 연립방정식의 RREF 첨가행렬은
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
\end{pmatrix}
</math>
이고, 우리는 이 선형 연립방정식의 유일한 해인 <math>(x,y,z)=(0,0,0)</math>를 볼 수 있고, 
이것은 자명한 해다. 

선형 연립방정식
<math display=block>
\begin{cases}
x+4y+5z&=0\\
2x+3y+5z&=0\\
x+2y+3z&=0\\
\end{cases}
</math>
은 homogeneous하고, 따라서 일관적이다.

덧붙여, 이 선형 연립방정식의 RREF 첨가행렬은
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&0&1&0\\
0&1&1&0\\
0&0&0&0\\
\end{pmatrix}
</math>
이고, 따라서 이 선형 연립방정식은 3열과 4열의 선행성분이 빠졌기 때문에 수 많은 해를 가진다. 우리는 <math>z</math>를 아무렇게나 둘 수 있다.
}}
{{인용문|
'''성질 (homogeneous한 선형 연립방정식이 비자명한 해를 가지는 충분조건)'''

<math>m</math>개의 선형 방정식과 <math>n</math>개의 미지수를 가지고 있는 homogeneous한 연립 방정식은 <math>{\color{green}m<n}</math>이면 반드시 비자명한 해를 가진다. 
}}
{{인용문|
증명

<math>m</math>개의 선형 방정식과 <math>n</math>개의 미지수를 가지고 있는 homogeneous한 연립 방정식의 첨가행렬을  <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>, <math>(A|\mathbf 0)</math>이라 하고, 
따라서 이 행렬의 RREF는 <math>(R|\mathbf 0)</math>이라 하자.(여기서 <math>R</math>의 크기는 <math>m</math>개의 선형 방정식과 <math>n</math>개의 미지수를 가지고 있으므로 <math>m\times n</math>이다.) 

<math>R</math>이 각각의 <math>n</math>개의 열에 대해서 선행성분을 가지고 있으면 <math>R</math>은 적어도 <math>n</math>행을 가지고 있을 것이다.
그러나 <math>R</math>은 <math>m<n</math>인 <math>m</math>개의 행만을 가지므로 모순이다.
따라서, homogeneous한 선형 연립방정식은 유일한 해를 가지지 않는다.

선형 연립방정식은 해가 없거나(homogeneous한 경우 불가능) 유일한 해가 있거나(이 경우에는 불가능) 무수히 많은 해가 있으므로,
이 homogeneous한 선형 연립방정식은 반드시 무수한 해를 가져야 한다.
즉, 비자명한 해를 가진다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 이 성질은 homogeneous한 선형 연립방정식이 비자명한 해를 가진다면 선형 방정식 수가 미지수의 개수보다 딸린다는 주장을 하는 것이 아니다.(성질의 역(逆))
:* 위의 예시(homogeneous한 선형 연립방정식)의 두번째에서 미지수의 개수와 선형 방정식의 개수가 같지만 선형 연립방정식은 여전히 비자명한 해를 갖는다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

homogeneous한 선형 연립방정식
<math display=block>
\begin{cases}
x+y+z=0\\
2x+5y+z=0
\end{cases}
</math>
은 반드시 비자명한 해를 가진다.

더불어, 이 선형 연립방정식의 첨가행렬의 RREF는
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&0&\frac{4}{3}&0\\
0&1&-\frac{1}{3}&0
\end{pmatrix}
</math>
이다. 이제 <math>z</math>를 독립 미지수 <math>z=t</math>로 두면, 우리는
<math>x=-\frac{4}{3}t,y=\frac{1}{3}t</math>를 얻는다.
}}

== 해주 ==
<references group="해" />

[[분류:선형대수학 입문|선형 연립방정식]]