선형대수학 입문/벡터와 부분공간 문서 원본 보기

== 벡터 ==

=== 소개 ===
먼저, 행 벡터와 열 벡터를 구분하지 말고 벡터를 정의합시다:
{{인용문|
'''정의 4.1. 벡터(실벡터)'''

<math>n</math>을 자연수라고 하자.(이전의 논의처럼 자연수는 0을 포함하지 않는다.)
벡터는 실수 <math>n</math>-튜플(순서쌍) <math>\mathbf v=(v_1,v_2,\ldots,v_n)</math>이다.
모든 벡터들의 집합 <math>\mathbb R^n</math>는 <math>n</math>차원 유클리드 공간이다,}}
{{인용문|
'''참고'''

* 차원에 대해서는 나중에 정의할 것이다.
* 벡터를 표현할 때는 '''볼드체'''로 쓸 것이다. <math>\vec v,\underline v,\overset{\rightharpoonup}{v}</math>와 같이 다르게 적을 수도 있다.
:* <math>\mathbf 0</math>은 특별히 영벡터를 표현하는데 쓸 것이다. 영벡터는 모든 성분이 <math>0</math>인 벡터다.
* 성분 <math>v_1,v_2,\ldots,v_k</math>은 <math>\mathbf v</math>의 좌표나 성분이라고 불린다.}}

표준기저벡터는 벡터의 특별한 경우다.
{{인용문|
'''정의 (표준기저벡터)'''

<math>\mathbb R^n</math> 공간 안의 표준기저벡터 <math>\mathbf e_j</math>는 <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>에 대하여 <math>j</math>번째 성분만 1이고, 나머지 성분은 0인 벡터이다.}}
{{인용문|
'''참고'''

* 표준벡터라는 단어보다 표준기저라는 말이 더 자주 쓰인다.
* <math>\mathbb R^2</math> 공간에서의 표준기저벡터는 <math>\mathbf e_1</math>과 <math>\mathbf e_2</math>이다. 그리고 각각 <math>\mathbf i</math>와 <math>\mathbf j</math>로 표현하는 일이 잦다.
* <math>\mathbb R^3</math> 공간에서의 표준기저벡터는 <math>\mathbf e_1</math>, <math>\mathbf e_2</math>, <math>\mathbf e_3</math>이고, 각각<math>\mathbf i</math>, <math>\mathbf j</math>, <math>\mathbf k</math>로 표현하기도 한다.}}
{{인용문|
'''예시'''

* <math>\mathbb R^4</math>에서의 <math>\mathbf e_3=(0,0,1,0)</math>.
* <math>\mathbb R^3</math>에서의 <math>\mathbf i=(1,0,0)</math>.
* <math>\mathbb R^2</math>에서의 <math>\mathbf i=(1,0)</math>.
<math>\mathbb R^2</math>에서의 <math>\mathbf i</math>와 <math>\mathbb R^3</math>에서의 <math>\mathbf i</math>가 다른 것을 확인할 수 있다. 
}}
위에서는 순서쌍을 통해 벡터를 정의했지만, 행렬은 행과 열로 나누어지기 때문에 선형대수학에서는 가끔씩 행 벡터와 열 벡터를 구분할 필요가 있습니다. 이들의 정의는 다음과 같습니다:
{{인용문|
'''정의 4.2. (행 벡터와 열 벡터)'''

행 벡터는 <math>1\times n</math>인 행렬이고, 열 벡터는 <math>n\times 1</math>인 행렬이다.}}
{{인용문|
'''참고'''

* 행 벡터보다 열 벡터를 좀 더 선호한다.
* 이렇게 정의하기 때문에 벡터 연산에 대응되는 행렬의 덧셈과 스칼라 곱셈을 적용시킬 수 있다.}}
{{인용문|
'''예시'''

<math>\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}</math>은 행 벡터이고, <math>\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}</math>은 열 벡터다.}}
{{인용문|
'''참고'''

* 가로쓰기에서 열 벡터를 예시처럼 쓰는 건 공간 낭비이므로 <math>\begin{pmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{pmatrix}^T</math>로 열 벡터를 표현하기도 한다.
:* 좀 더 아끼기 위해서 성분 간에 공백을 두지 않고, 순서쌍으로 표현해 <math>(v_1,\ldots,v_n)^T</math>로 쓰는게 더 일반적이다.
:* 반면에 열과 행을 구분하지 않는 벡터와 쓰는게 겹치는 것을 피하기 위해서 이 책에서는 행 벡터를 <math>(v_1,\ldots,v_n)</math>로 쓰지 않을 것이다.}}
덧셈과 스칼라 곱셉은 벡터연산의 기본적인 두 가지 연산입니다.
두 개의 연산만을 사용해서 다음의 정의를 따라 우리는 수많은 벡터를 조합할 수 있습니다.
{{인용문|
'''정의 4.3. (선형결합)'''

벡터 <math>\mathbf v_n</math>에 대해 <math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k\in\mathbb R^n</math>라고 하자. 어떤 스칼라(실벡터에서는 실수) <math>c_1,\ldots,c_k</math>에 대해서 벡터 <math>\mathbf v\in\mathbb R^n</math>가
<math display=block>
\mathbf v=c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k
</math>
이면 <math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k</math>의 선형결합이다.}}
{{인용문|
'''예시'''

벡터 <math>(3,4,5)^T</math>는 <math>(1,2,3)^T</math>와 <math>(2,3,4)^T</math>의 선형결합이지만, 벡터 <math>(3,4,6)^T</math>는 선형결합이 될 수 없다.
{{증명}}

<math display=block>
(3,4,5)^T=a(1,2,3)^T+b(2,3,4)^T
\iff
\begin{cases}
a+2b=3\\
2a+3b=4\\
3a+4b=5\\
\end{cases}
</math>이고,
이 선형 연립방정식을 첨가행렬로 바꿀 수 있으므로:
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&3&4\\
3&4&5\\
\end{pmatrix}
\overset{-3\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}{\overset{-2\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}{\to}}
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&-1&-2\\
0&-2&-4\\
\end{pmatrix}
\overset{-\mathbf r_2\to\mathbf r_2}{\to}
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&1&2\\
0&-2&-4\\
\end{pmatrix}
\overset{-2\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}{\overset{2\mathbf r_2+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}{\to}}
\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
0&1&2\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}.
</math>
따라서 유일한 해가 <math>(a,b)=(-1,2)</math>임을 알 수 있다.
그러므로, <math>(3,4,5)^T</math>는 <math>(1,2,3)^T</math>와 <math>(2,3,4)^T</math>의 선형결합으로 표현할 수 있다.

반면에
<math display=block>
(3,4,6)^T=a(1,2,3)^T+b(2,3,4)^T
\iff
\begin{cases}
a+2b=3\\
2a+3b=4\\
3a+4b=6\\
\end{cases}
</math>이고,
이를 첨가행렬로 표현하면:
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&3&4\\
3&4&6\\
\end{pmatrix}
\overset{-3\mathbf r_1+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}{\overset{-2\mathbf r_1+\mathbf r_2\to\mathbf r_2}{\to}}
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&-1&-2\\
0&-2&-3\\
\end{pmatrix}
\overset{-\mathbf r_2\to\mathbf r_2}{\to}
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&1&2\\
0&-2&-3\\
\end{pmatrix}
\overset{-2\mathbf r_2+\mathbf r_1\to\mathbf r_1}{\overset{2\mathbf r_2+\mathbf r_3\to\mathbf r_3}{\to}}
\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
0&1&2\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}
</math>이다.
마지막 열인 3열에 선행성분이 존재하므로, 이 식은 일관적이지 않다.(모순적이다.) 따라서 <math>(3,4,6)^T</math>는 <math>(1,2,3)^T</math>와 <math>(2,3,4)^T</math>의 선형결합으로 나타낼 수 없다. 
{{증명 끝}}
}}
{{예제|<quiz display=simple>
{Choose linear combination(s) of <math>(1,2)^T,(0,0)^T</math>. 
|type="[]"}
+ <math>(1,2)^T</math>. 
+ <math>(0,0)^T</math>. 
- <math>(0,1)^T</math>. 
|| <math>a(1,2)^T+b(0,0)^T=(0,1)^T\iff (a,2a)^T=(0,1)^T\iff a=0\text{ and }2a=1(</math>, which is impossible 
- <math>(1,2)</math>. 
|| it may not be column vectors, but the linear combination must be column vector
- <math>(0,0)</math>. 
|| it may not be column vectors, but the linear combination must be column vector

{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
+ If a nonzero vector <math>\mathbf v</math> is a linear combination of a vector <math>\mathbf v_1</math>, and also a linear combination of a vector <math>\mathbf v_2</math>, then <math>\mathbf v_1</math> is a linear combination of <math>\mathbf v_2</math>. 
|| it is given that <math>\mathbf v=a\mathbf v_1</math> and <math>\mathbf v=b\mathbf v_2</math> for some scalars <math>a,b</math>
|| it follows that <math>\mathbf v_1=\frac{b}{a}\mathbf v_2</math>, if <math>a\ne 0</math>, which is true since <math>\mathbf v</math> is nonzero vector
+ Linear combination of vectors <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2</math> and linear combination of vectors <math>\mathbf v_2,\mathbf v_3</math> are both linear combination of vectors <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3</math>. 
|| linear combination of <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3</math> is in the form of <math>a\mathbf v_1+b\mathbf v_2+c\mathbf v_3</math> 
|| setting <math>c=0</math> and <math>a=0</math>, this form becomes the form for linear combination of <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2</math> and <math>\mathbf v_2,\mathbf v_3</math> respectively
+ Zero vector is a linear combination of arbitrary vector(s).
|| for arbitrary vectors <math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k</math>, 
|| their linear combinations are in the form <math>c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k</math> 
|| setting <math>c_1,\ldots,c_k=0</math>, we get zero vector. 
+ There are infinitely many possible linear combinations for arbitrary vector(s).
|| this is true since we have infinitely many choices of the scalar(s) in the expression of linear combination
- <math>\mathbf v=\pi^2\mathbf v_1+3\mathbf v_2</math> is not a linear combination of vectors <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2</math>. 
|| <math>\pi^2,3</math> are scalars


</quiz>}}

선형결합과 밀접하게 연관되어 있는 또다른 개념으로 span이 있습니다. <ref>Homogeneous와 마찬가지로 적절한 번역 단어가 없는 상태입니다.</ref>
[[파일:Basis_for_a_plane.svg|섬네일|<math>\mathbb R^3</math>에 속하는 두 벡터 <math>\mathbf u</math>와 <math>\mathbf v</math>의 span은 그림의 바둑판 평면입니다.]]
{{인용문|
'''정의 4.4. (Span)'''

<math>S=\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k\}</math>를 영집합이 아닌 <math>\mathbb R^n</math>의 부분집합이라고 하자. 
<math>\operatorname{span}(S)</math>로 표현하는 <math>S</math>의 span은 
<math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k</math>의 모든 선형결합의 집합이다.}}
{{인용문|
'''참고'''

* 이는 <math>\operatorname{span}(S)</math>가 무한히 많은 벡터들을 품고 있다는 것을 말한다. 몇몇 벡터만으로도 만들 수 있는 선형결합은 무한하게 많기 때문이다.
* 이는 <math>\operatorname{span}(S)</math> 안에 있는 벡터는 <math>S</math>에 속한 벡터를 사용하여 만들 수 있다는 것을 의미한다.
* 벡터(들)의 span 대신에 어떤 벡터(들)을 포함하는 집합의 span을 쓸 수 있다.}}
{{인용문|
'''예시'''

집합 <math>\{(1,2,3)^T,(2,3,4)^T\}</math> span은
<math display=block>
\{(a+2b,2a+3b,3a+4b)^T:a,b\in\mathbb R\}
</math>로 나타난다.
<math>(1,2,3)^T</math> and <math>(2,3,4)^T</math>의 선형결합은
<math display=block>
a(1,2,3)^T+b(2,3,4)^T=(a+2b,2a+3b,3a+4b)^T
</math> 꼴로 나타나기 때문이다.

기하학적으로 이 span은  <math>\mathbb R^3</math> 공간 속의 평면이다.

집합 <math>\{(1,1)^T\}</math>의 span은
<math display=block>
\{(a,a)^T: a\in\mathbb R\}
</math>이다.
마찬가지로 <math>(1,1)^T</math>의 선형결합을 나타내면
<math display=block>
a(1,1)^T=(a,a)^T
</math>꼴로 나타나기 때문이다.
기하학적으로 이 span은 <math>\mathbb R^2</math> 공간 속의 선이다.}}
{{예제|<quiz display=simple>
{Select all correct expression(s) for <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf 0\})}</math>, in which <math>\mathbf 0\in\mathbb R^n</math>. 
|type="[]"}
- <math>\mathbf 0</math>. 
|| span is a set
- Empty set, <math>\varnothing</math>. 
|| linear combination of <math>\mathbf 0</math> exists
+ <math>\{\mathbf 0\}</math>. 
|| the only linear combination of <math>\mathbf 0</math> is <math>\mathbf 0</math> 
|| so <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf 0\})}</math> is the set containing the zero vector
- <math>\{\{\mathbf 0\}\}</math>. 
|| span is a set containing vector(s), not containing set(s)
- <math>\mathbb R^n</math> 

{Select all correct expression(s) for <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\})}</math>, in which <math>\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k</math> are column vectors.
|type="[]"}
+ <math>\mathbb R^3</math>. 
|| All vectors in <math>\mathbb R^3</math> are linear combinations of <math>\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k</math>, since <math>\{a\mathbf i+\mathbf bj+c\mathbf k:a,b,c\in\mathbb R\}=\{(a,b,c):a,b,c\in\mathbb R\}=\mathbb R^3</math>  
- <math>\{\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\}</math>. 
|| it just contains three vectors <math>\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k</math> 
- <math>\{a\mathbf i, b\mathbf j, c\mathbf k:a,b,c\in\mathbb R\}</math>. 
|| it does not contain all vectors belonging to the span, e.g. <math>\mathbf i+\mathbf j+\mathbf k\notin\{a\mathbf i, b\mathbf j, c\mathbf k:a,b,c\in\mathbb R\}</math> 
+ <math>\{(a,b,c)^T:a,b,c\in\mathbb R\}</math>.
|| All vectors in <math>\mathbb R^3</math> are linear combinations of <math>\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k</math>, since <math>\{a\mathbf i+\mathbf bj+c\mathbf k:a,b,c\in\mathbb R\}=\{(a,b,c):a,b,c\in\mathbb R\}=\mathbb R^3</math>  

{Let <math>S</math> and <math>T</math> be sets containing some vectors, which are nonempty subset of <math>\mathbb R^n</math>. Select all correct statement(s).
|type="[]"}
- <math>\operatorname{span}{(S\cup T)}=\operatorname{span}(S)\cup\operatorname{span}(T)</math>
|| let <math>S=\{\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_k\}</math> and <math>T=\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_m\}</math> be nonempty subsets of <math>\mathbb R^n</math> 
|| then, <math>\operatorname{span}{(S\cup T)}=\operatorname{span}{(\{\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_k,\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_m\})}=\{c_1\mathbf u_1+\cdots+c_k\mathbf u_k+d_1\mathbf v_1+\cdots+d_m\mathbf v_m: c_1,\ldots,c_k,d_1,\ldots,d_m\in\mathbb R\}</math> 
|| and <math>\operatorname{span}(S)\cup\operatorname{span}(T)=\{c_1\mathbf u_1+\cdots+c_k\mathbf u_k: c_1,\ldots,c_k\in\mathbb R\}\cup\{d_1\mathbf v_1+\cdots+d_m\mathbf v_m:d_1,\ldots,d_m\in\mathbb R\}=\{c_1\mathbf u_1+\cdots+c_k\mathbf u_k{\color{green},}d_1\mathbf v_1+\cdots+d_m\mathbf v_m:c_1,\ldots,c_k,d_1,\ldots,d_m\in\mathbb R\}</math> 
|| we can see that they are {{colored em|not}} equal
- If <math>\operatorname{span}(S)=\operatorname{span}(T)</math>, then <math>S=T</math>.  
|| counterexample: <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\})}=\operatorname{span}{(\{2\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\})}</math> 
|| but <math>\{\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\}\ne\{2\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\}</math> 
- If <math>\operatorname{span}(S)\ne\operatorname{span}(T)</math>, then <math>S\ne T</math>  
|| consider {{colored em|contrapositive}} of the statement, i.e. if <math>S=T</math>, then <math>\operatorname{span}(S)=\operatorname{span}(T)</math>  
|| let <math>S=T=\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k\}</math>. Then, <math>\operatorname{span}(S)=\operatorname{span}(T)=\{c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k:c_1,\ldots,c_k\in\mathbb R\}</math>   
+ <math>\operatorname{span}{(\operatorname{span}(S))}=\operatorname{span}(S)</math> 
|| let <math>\operatorname{span}(S)=\{c_1\mathbf u_1+\cdots+c_k\mathbf u_k:c_1,\ldots,c_k\in\mathbb R\}</math> 
|| let <math>\operatorname{span}{(\operatorname{span}(S))}=\{d_1\mathbf v_1+\cdots+d_k\mathbf v_k:d_1,\dotsc,d_n\in\mathbb R\}=\{c_1d_1\mathbf u_1+\cdots+c_kd_k\mathbf u_k:c_1,\dotsc,c_k,d_1,\dotsc,d_n\in\mathbb R\}</math> 
|| since <math>c_1d_1,\ldots,c_kd_k\in\mathbb R</math> also, i.e. they are also scalars,
|| it follows that <math>\operatorname{span}{(\operatorname{span}(S))}</math> is the set containing all linear combinations of <math>\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_k</math>, which is, by definition, <math>\operatorname{span}(S)</math>  
- <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf u,\mathbf v\})}=\mathbb R^2</math> for each <math>\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^2</math> 
|| counterexample: <math>\mathbf u=\mathbf i,\mathbf v=2\mathbf i</math> 
|| then, <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf u,\mathbf v\}}=\{(a,0):a\in\mathbb R\}\ne\mathbb R^2</math> 
</quiz>}}

=== 선형독립 ===
[[파일:Vec-indep.png|섬네일|<math>\mathbb R^3</math> 공간 속 선형독립인 3개의 벡터들]]
[[파일:Vec-dep.png|섬네일|<math>\mathbb R^3</math> 공간 속 선형종속인 3개의 벡터들]]
{{인용문|
'''정의 4.5. (선형독립, 선형종속)'''

<math>S=\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k\}</math>를 <math>\mathbb R^n</math>의 부분집합이라고 하자.
<math display=block>
c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0
</math>을 만족하는 <math>0</math>이 아닌 스칼라 <math>c_1,\ldots,c_k</math>가 존재하면 집합 <math>S</math>은 선형종속이다.
그렇지 않으면 집합 <math>S</math>는 선형독립이다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* (용어) 그 벡터들을 가지고 있는 집합은 선형독립 혹은 선형종속이라는 표현 대신에 벡터 <math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k</math>가 선형독립처럼 쓸 수도 있다.
* 벡터들이 선형독립이면 식에서 <math>c_1,\ldots,c_k</math>가 모두 <math>0</math>인 경우 식이 성립한다.
* 동등하게, 벡터들이 선형독립이면 '<math>c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0</math>이기 위한 유일한 해는 <math>c_1=\cdots=c_k=0</math>이다.'라는 결론을 얻는다. 
:* 이것이 좀 더 흔하게 쓰이는 선형 독립을 쓰는 방법이다.
}}
이제, 우리는 선형종속의 직관적인 결과에 대해서 말할 수 있을 것 같습니다. 왜 '선형종속' 같은 말을 쓰는지를 잘 설명해주는 결과에 대해서 말이죠.
{{인용문|
'''명제 (선형종속인 것과 동등한 조건)'''

벡터 <math>\mathbf v_1,\cdots,\mathbf v_k</math>는 선형종속이라는 것과 한 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것은 동치다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

* 선형종속이면 선형결합으로 한 벡터를 표현할 수 있다: 
:* 일반적인 경우를 유지하기 위해 <math>c_1\ne 0</math>인 <math>c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k</math>를 가정하자.(<math>c_1</math>을 다른 스칼라로 바꿔도, 결과는 여전히 대칭성을 유지한다.)
:* 그러면, <math>\mathbf v_1=-\frac{c_2}{c_1}\mathbf v_2-\cdots-\frac{c_k}{c_1}\mathbf v_k</math>, 즉, <math>\mathbf v_1</math>는 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 
* 선형결합으로 한 벡터를 표현할 수 있다면 선형종속이다:
:* 일반적인 경우를 유지하기 위해, <math>\mathbf v_1=b_2\mathbf v_2+\cdots+b_k\mathbf v_k</math>를 가정하자.(<math>\mathbf v_1</math>를 다른 벡터로 바꿔도, 결과는 여전히 대칭성을 유지한다.)
:* 그러면, <math>\mathbf v_1-b_2\mathbf v_2-\cdots-b_k\mathbf v_k=\mathbf 0</math>이다. 
::* <math>\mathbf v_1</math>은 <math>0</math>이 아니므로, <math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k</math>는 선형종속이다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 이것이 모든 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것이 아니다.
* 벡터들이 '선형종속'이라는 것은, 직관적으로 선형적인 의미와 관련이 있다고 생각할 수 있는데, 한 벡터가 다른 벡터들에 의존(선형결합)할 수 있기 때문에 이는 사실이다. 즉, 다른 벡터들과의 관계가 존재한다는 것이다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

벡터 <math>(1,2,3)^T,(2,3,4)^T,(3,4,5)^T</math>들은 선형종속이다.
{{증명}}
* 방정식 <math>a(1,2,3)^T+b(2,3,4)^T+c(3,4,5)^T=(0,0,0)^T</math>을 생각해보자.
:* 계수행렬의 행렬식은
<math display=block>
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
2&3&4\\
3&4&5\\
\end{vmatrix}
=1(3)(5)+2(4)(3)+3(2)(4)-3(3)(3)-2(2)(5)-4(4)(1)
=0
</math>
:: 이므로 계수행렬은 비가역적이다.
::* 따라서, 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해 homogeneous한 선형 연립방정식은 비자명한 해를 가진다. 즉, 방정식을 만족하는 모든 성분이 <math>0</math>은 아닌 스칼라 집합 <math>\{ a, b, c \}</math>가 존재한다.
{{증명 끝}}
}}

이제, 선형독립인 벡터들의 명제를 소개하겠습니다.
{{인용문|
'''명제 (선형독립인 벡터들의 계수 비교)'''

<math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k</math>를 선형독립인 벡터들이라고 하자.
만약
<math display=block>
a_1\mathbf v_1+\cdots+a_k\mathbf v_k=b_1\mathbf v_1+\cdots+b_k\mathbf v_k
</math>이면,
<math>(a_1,\ldots,a_k)=(b_1,\ldots,b_k)</math>이다.
}}

{{인용문|
'''증명'''

<math display=block>
a_1\mathbf v_1+\cdots+a_k\mathbf v_k=b_1\mathbf v_1+\cdots+b_k\mathbf v_k,
\Leftrightarrow
(a_1-b_1)\mathbf v_1+\cdots+(a_k-b_k)\mathbf v_k=\mathbf 0
</math>
벡터들의 선형독립성에 의해,
<math display=block>
a_1-b_1=\cdots=a_k-b_k=0,
</math>
이다. [[w:Q.E.D.|□]]
}}
{{인용문|
'''예시 (비교를 통한 미지수 찾기)'''

벡터 <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3</math>가 선형독립이고,
<math display=block>
2\mathbf v_1+a\mathbf v_2+\mathbf v_3=b\mathbf v_1+7\mathbf v_2+c\mathbf v_3
</math>라고 하자.
그러면 계수 비교를 통해 우리는
<math display=block>
(a,b,c)=(7,2,1)
</math>를 얻는다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

세 선형종속 벡터 <math>(1,2,4)^T,(2,4,8)^T,(1,2,3)^T</math>를 생각하자.
<math display=block>
a_1(1,2,4)^T+a_2(2,4,8)^T+a_3(1,2,3)^T=b_1(1,2,4)^T+b_2(2,4,8)^T+b_3(1,2,3)^T
</math>라고 해도,
<math>(a_1,a_2,a_3)=(b_1,b_2,b_3)</math>가 아닐 수도 있다. 
아래와 같은 예를 생각해볼 수 있다.
<math display=block>
4(1,2,4)^T+(2,4,8)^T+(1,2,3)^T=2(1,2,4)^T+2(2,4,8)^T+(1,2,3)^T.
</math>
}}
{{예제|
Let <math>\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w</math> be linearly independent vectors. 
<quiz display=simple>
{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
+ <math>\mathbf u,\mathbf v</math> are linearly independent.
|| by linear independence of <math>\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w</math>, 
|| <math>c_1\mathbf u+c_2\mathbf v+c_3\mathbf w=\mathbf 0\implies c_1=c_2=c_3=0</math> 
|| so, replacing <math>c_3</math> by <math>0</math>, we have
|| <math>c_1\mathbf u+c_2\mathbf v+0\mathbf w\iff c_1\mathbf u+c_2\mathbf v\implies c_1=c_2=0</math> 
|| thus <math>\mathbf u,\mathbf v</math> are linearly independent
- <math>\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w,\mathbf 0</math> are linearly independent.
|| consider <math>c_1\mathbf u+c_2\mathbf v+c_3\mathbf w+c_4\mathbf 0=\mathbf 0</math> 
|| setting <math>c_1=c_2=c_3=0</math>, <math>c_1\mathbf u+c_2\mathbf v+c_3\mathbf w=\mathbf 0</math>, and thus the equation becomes 
|| <math>\mathbf 0+c_4\mathbf 0=\mathbf 0</math>, which is true for each <math>c_4</math>  
|| so there exist scalars <math>c_1,c_2,c_3,c_4</math> that are not all zero such that the above equation holds, i.e. they are linearly dependent
- <math>\mathbf v,\mathbf w,\mathbf u+\mathbf v</math> are linearly dependent
|| <math>c_1\mathbf v+c_2\mathbf w+c_3(\mathbf u+\mathbf v)=\mathbf 0\implies (c_1+c_3)\mathbf v+c_2\mathbf w+c_3\mathbf u\implies c_1+c_3=c_2=c_3=0</math> 
|| since <math>c_3=0</math>, <math>c_1+c_3=0\implies c_1=0</math> 
|| also <math>c_2=0</math> 
|| it follows that <math>c_1=c_2=c_3=0</math> 
|| so they are linearly independent
- <math>a\mathbf u,b\mathbf v,c\mathbf w</math> are linearly independent for each scalar <math>a,b,c</math> 
|| <math>c_1a\mathbf u+c_2b\mathbf v+c_3c\mathbf w=\mathbf 0\implies ac_1=bc_2=cc_3=0</math> 
|| e.g. if <math>a=b=c=0</math>, then this equation holds for arbitrary values of <math>c_1,c_2,c_3</math> 

{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
- Single arbitrary vector is linearly independent.
|| counterexample: single zero vector is linearly dependent since <math>c\mathbf 0=\mathbf 0</math> holds for each <math>c</math> 
- If <math>\mathbf u,\mathbf v</math> are linearly independent, and <math>\mathbf v,\mathbf w</math> are linearly independent, then <math>\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w</math> are linearly independent.
|| counterexample: <math>\mathbf u=(1,0)^T,\mathbf v=(0,1)^T,\mathbf w=(1,1)^T</math> 
|| <math>(1,0)^T,(0,1)^T</math> are linearly independent since <math>a(1,0)^T+b(0,1)^T=(0,0)^T\implies (a,b)^T=(0,0)^T\implies a=b=0</math> 
|| <math>(0,1)^T,(1,1)^T</math> are linearly independent since <math>a(0,1)^T+b(1,1)^T=(0,0)^T\implies (b,a+b)^T=(0,0)^T\implies a=b=0</math> 
|| but, <math>(1,0)^T,(0,1)^T,(1,1)^T</math> are linearly dependent, since <math>(1,1)^T=(1,0)^T+(0,1)^T</math> 
+ <math>a_1\mathbf e_1+\cdots+a_k\mathbf e_k=b_1\mathbf e_1+\cdots+b_k\mathbf e_k\Rightarrow (a_1,\ldots,a_k)=(b_1,\ldots,b_k)</math> 
|| this is true since <math>a_1\mathbf e_1+\cdots+a_k\mathbf e_k=(a_1,0,\ldots,0)^T+\cdots+(0,0,\ldots,a_k)^T=(a_1,\ldots,a_k)</math> 
|| and <math>b_1\mathbf e_1+\cdots+b_k\mathbf e_k=(b_1,0,\ldots,0)^T+\cdots+(0,0,\ldots,b_k)^T=(b_1,\ldots,b_k)</math> 
+ <math>\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_k</math> are linearly independent.
|| <math>c_1\mathbf e_1+\cdots+c_k\mathbf e_k=\mathbf 0\implies (c_1,\ldots,c_k)=\mathbf 0\implies c_1=\cdots=c_k=0</math> 
</quiz>
}}

이제 선형독립과 선형 연립방정식에 관련된 두 개의 결과를 논할 것입니다.
{{인용문|
'''명제 (선형독립과 가역성 사이의 관계)'''

<math>S=\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_{\color{green}n}\}</math>를 <math>\mathbb R^{\color{green}n}</math> (벡터의 수가 반드시 <math>n</math>여야지, 행렬이 정사각행렬을 갖는다.) 공간 속의 벡터 집합이라고 하자.
Let <math>A</math>를 각각의 열이 <math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n</math>인 정사각행렬이라고 하자.
그러면, <math>S</math>는 <math>A</math>가 가역적일 때만 선형독립이다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

S<math>\mathbf x=(c_1,\ldots,c_n)^T</math>와, homogeneous한 선형 연립방정식 
<math display=block>
c_1\mathbf v_1+\cdots+c_n\mathbf v_n=\mathbf 0\iff A\mathbf x=\mathbf 0,
</math>
을 놓자.
선형독립의 정의에 의해 <math>S</math>는 선형독립이고, 이는 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>가 오로지 자명한 해를 가지는 것과 동치이며, 
이는 또 <math>A</math>가 가역적임과 동치이다. 
}}
{{인용문|
'''참고'''

이 명제는 벡터 각각의 성분의 수와 벡터의 수를 짝지어보는 방법으로 선형독립 혹은 선형종속을 판단하는 편리한 방법을 준다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

집합 <math>\{(1,1,1)^T,(2,3,4)^T,(7,3,6)^T\}</math>은 선형독립이다.
<math display=block>
\begin{vmatrix}
1&2&7\\1&3&3\\1&4&6\\
\end{vmatrix}
=7\ne 0
</math>이기 때문이다.
}}
{{인용문|
'''명제 (선형독립과 선형 연립방정식의 해의 개수의 관계)'''

<math>A\mathbf x=\mathbf b</math>를 선형 연립방정식이라 하자.(<math>A</math>는 정사각행렬이 아닐 수도 있고, <math>\mathbf b</math>도 <math>0</math>이 아닐 수도 있다.)
If the {{colored em|columns}} of <math>A</math>의 열들이 선형독립이면, 선형 연립방정식은 많아봤자 1개의 해가 존재한다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

<math>\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n</math>를 <math>A</math>의 열이라고 하고, <math>\mathbf x=(x_1,\ldots,x_n)^T</math>라고 하자.

그러면, <math>A\mathbf x=\mathbf b\iff x_1\mathbf a_1+\cdots+x_n\mathbf a_n=\mathbf b</math>이다. 
선형 연립방정식에 서로 다른 두 개의 해 <math>(x_1,\ldots,x_n)^T</math>와 <math>(y_1,\ldots,y_n)^T</math>가 있다고 가정하자. 즉,
<math display=block>
x_1\mathbf a_1+\cdots+x_n\mathbf a_n=\mathbf b=y_1\mathbf a_1+\cdots+y_n\mathbf a_n
</math>이다.
하지만, 선형독립 벡터들의 계수를 비교한 명제에 의해서, <math display=block>
(x_1,\ldots,x_n)=(y_1,\ldots,y_n)
</math>이고,
이는 두 개의 해가 다르다고 하는 가정에 모순된다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* <math>A</math>의 열이 선형독립이면 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>가 오로지 하나의 자명한 해를 가져 <math>A</math>가 가역적이고, 이전의 명제와 일치하는 것은 특별한 경우다.
* 선형 연립방정식은 많아도 하나의 해를 갖고 이는 선형 연립방정식의 해가 없거나 유일한 해를 가지고 있다는 것과 똑같은 소리다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

집합 <math>\{(1,1,1)^T,(2,3,4)^T\}</math>은 서로가 서로를 선형결합으로 만들어내지 못하므로 선형독립이다.
따라서 선형 연립방정식
<math display=block>
\begin{cases}x+2y&=a\\x+3y&=b\\x+4y&=c\\\end{cases}
</math>
은 각각의 <math>a,b</math>에 대해 많아도 한 개의 해를 갖는다. 
예를 들어,
선형 연립방정식
<math display=block>
\begin{cases}x+2y&=4\\x+3y&=3\\x+4y&=2\\\end{cases}
</math>
는 이 선형 연립방정식의 첨가 행렬
<math display=block>
\begin{pmatrix}
1&2&4\\
1&3&3\\
1&4&2\\
\end{pmatrix}
</math>
을 생각해 볼 때 해가 존재하지 않는다.
<math>
\begin{vmatrix}
1&2&4\\
1&3&3\\
1&4&2\\
\end{vmatrix}
=-4,
</math>
와 첨가행렬은 가역적이므로, 
그것의 RREF는 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해서 <math>I_3</math>이다.
따라서, <math>I_3</math>의 3열에 선행성분이 존재하므로, 선형 연립방정식은 모순적이다.
}}
{{예제|
Let <math>A=
\begin{pmatrix}
2&0&2&2\\
2&5&8&9\\
3&1&2&5\\
1&2&3&4\\
\end{pmatrix},
\mathbf x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T,
\mathbf b=(b_1,b_2,b_3,b_4)^T
</math>. 
It is given that <math>
\det A=-2
</math>.
<quiz display=simple>
{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
+ The set <math>\{(2,0,2,2)^T,(2,5,8,9)^T,(3,1,2,5)^T,(1,2,3,4)^T\}</math> is linearly independent.
|| <math>\det A^T=\det A=-2\ne 0</math>, and the set contains the columns of <math>A^T</math>  
+ The set <math>\{(2,2,3,1)^T,(0,5,1,2)^T,(2,8,2,3)^T,(2,9,5,4)^T\}</math> is linearly independent.
|| the set contains the columns of <math>A</math>, and <math>\det A\ne 0</math>  
+ The homogeneous SLE <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math> only has the trivial solution.
|| the set containing columns of <math>A</math> are linearly independent, so <math>A</math> is invertible, and thus the homogeneous SLE only has the trivial solution
- The SLE <math>A\mathbf x=\mathbf b</math> may have infinitely many solutions
|| since the columns of <math>A</math> are linearly independent, the SLE has at most one solution
</quiz>
}}

== 부분공간 ==
이제 부분공간에 대해서 논해봅시다. 간단하게 말해서 부분공간이란 좋은 성질을 가지고 있는 <math>\mathbb R^n</math>의 어떤 부분집합입니다.
좀 더 엄밀하게 하기 위해 다음과 같이 정의합시다.
{{인용문|
'''정의 4. 6. (부분공간)'''

<math>\mathbb R^n</math>의 부분집합 <math>V</math>은 아래의 조건을 따르면 <math>\mathbb R^n</math>의 부분공간이다.
# <math>\mathbf 0\in V</math> 
# (덧셈 연산에 대해 닫힘) 각각의 <math>\mathbf u,\mathbf v\in V</math>에 대하여, <math>\mathbf u+\mathbf v\in V</math>  
# (스칼라 곱샘에 대해 닫힘) 각각의 <math>\mathbf v\in V</math>와 스칼라 <math>c</math>에 대하여, <math>c\mathbf v\in V</math> 
}}
{{인용문|
'''참고'''

* <math>V</math>는 더 큰 벡터공간의 부분집합인 벡터공간의 한 종류이므로 벡터공간이다.
:* 벡터공간의 정의는 좀 더 많은 조건이 필요하고 좀 더 복잡하다. 그래서 여기서는 다루지 않을 것이다.
:* 부분공간에서 이 조건들이 충족이 되면 벡터공간의 다른 조건들이 자동적으로 충족된다.
* <math>V</math>가 영집합이 아니면 첫번째 조건은 알아서 만족한다.
:* 하지만 <math>V</math>가 영집합인지 아닌지 모르기 때문에, 첫번째 조건을 만족하는지를 간단하게 확인하는 것이 편하다.
:* 이는 각각의 <math>\mathbf v\in V</math>에 대하여 스칼라 곱셈에 닫혀있어, <math>-\mathbf v=(-1)\cdot\mathbf v\in V</math>이기 때문이다. 그리고 덧셈에 닫혀있으므로 <math>\mathbf 0=\mathbf v+(-\mathbf v)\in V</math>이다.
}}
{{인용문|
'''예시 (Zero space)'''

오로지 영벡터 하나만을 가지고 있는 집합 <math>\{\mathbf 0\}</math>은 <math>\mathbb R^n</math>의 부분공간이며 zero space라고 부른다.
{{증명}}
* <math>\mathbf 0\in\{\mathbf 0\}</math>
* <math>\mathbf 0+\mathbf 0=\mathbf 0\in\{\mathbf 0\}</math>
* 각각의 스칼라 <math>c</math>에 대하여 <math>c\mathbf 0=\mathbf 0\in\{\mathbf 0\}</math>.

따라서 <math>\{\mathbf 0\}</math>는 벡터공간
{{증명 끝}}
}}
{{인용문|
'''예시'''

집합 <math>\{(1,2,3)^T,(3,4,5)^T\}</math>의 span은<math>\mathbb R^3</math>의 부분공간이다.
{{인용문|
'''증명'''

<math>V=\operatorname{span}{(\{(1,2,3)^T,(3,4,5)^T\})}</math>라고 하자. 
* <math>(1,2,3)^T</math>와 <math>(3,4,5)^T</math>의 선형결합에 대해서 <math>\mathbf 0=0\cdot(1,2,3)^T+0\cdot(3,4,5)^T</math>이므로 <math>\mathbf 0\in V</math>. 
* <math>\mathbf u,\mathbf v\in V\Rightarrow \mathbf u+\mathbf v\in V</math>이고, 그 이유는:
:* <math>\mathbf u=a(1,2,3)^T+b(3,4,5)^T</math>, <math>\mathbf v=c(1,2,3)^T+d(3,4,5)^T</math>라고 하자. 그러면 <math>\mathbf u+\mathbf v=(a+c)(1,2,3)^T+(b+d)(3,4,5)^T\in V</math>.
* <math>\mathbf v\in V,c\in\mathbb R\Rightarrow c\mathbf v\in V</math>이고, 그 이유는: 
:* <math>\mathbf v=a(1,2,3)^T+b(3,4,5)^T</math>라고 하자. 그러면 <math>c\mathbf v=ca(1,2,3)^T+cb(3,4,5)^T\in V</math>.
}}
}}
이 예시를 통해서 성분 그 자체는 사실 중요하지 않다는 것을 볼 수 있습니다. 게다가 다음과 같은 일반적인 결론까지 내릴 수 있습니다:
{{인용문|
'''명제'''

모든 유한집합 <math>S</math>에 대해서, <math>\operatorname{span}(S)</math>은 부분공간이다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

증명의 아이디어는 위의 예시에 나와있다:
* 영벡터는 <math>S</math> 안의 벡터들의 선형결합이므로 <math>\mathbf 0\in V</math>
* <math>\mathbf u+\mathbf v</math>는 <math>S</math> 안의 벡터들의 선형결합이므로 <math>\mathbf u,\mathbf v\in V\Rightarrow\mathbf u+\mathbf v\in V</math>
* <math>c\mathbf v</math>는 <math>S</math> 안의 벡터들의 선형결합이므로 <math>\mathbf v\in V,c\in\mathbb R\Rightarrow c\mathbf v\in V</math>
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
- Empty set, <math>\varnothing</math>, is a subspace.
|| <math>\mathbf 0\notin\varnothing</math> 
- <math>L=\{(1,0,0)^T+t(2,3,4)^T:t\in\mathbb R\}</math> is a subspace.
|| <math>\mathbf 0\notin L</math> 
|| {{colored em|Remark}}: it is a line not passing through origin in <math>\mathbb R^3</math>  
- <math>\{(1,2,3)^T\}</math> is a subspace.
|| <math>\mathbf 0\notin\{(1,2,3)^T\}</math> 
|| {{colored em|Remark}}: this set only contains one vector 
+ <math>\mathbb R^3</math> is a subspace.
|| <math>\mathbf 0\in\mathbb R^3</math> 
|| <math>\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^3\Rightarrow\mathbf u+\mathbf v\in\mathbb R^3</math> 
|| <math>\mathbf v\in\mathbb R^3,c\in\mathbb R\Rightarrow c\mathbf v\in\mathbb R^3</math> 
- <math>S=\{(x,y):x\ge 0,y\le 0\}</math> is a subspace.
|| counterexample: <math>(1,-1)\in S</math>, but <math>-1\cdot(1,-1)=(-1,1)\notin S</math>  
</quiz>
}}

특히, 어떤 span은 특별한 이름을 가지고 있습니다:
{{인용문|
'''정의 4. 7. (행, 열, 영 공간)'''

<math>A</math>를 행렬이라 하자.
<math>A</math>의 행(열)공간 <math>A</math>의 행(열)의 span이고, <math>\operatorname{Row}(A)</math> (<math>\operatorname{Col}(A)</math>)로 표기한다.
<math>A</math>의 영공간(혹은 핵(커널, kernel)) homogeneous한 선형 연립방정식 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>의 해 집합이고, <math>\operatorname{Null}(A)</math> (또는 커널의 ker에서 딴 <math>\operatorname{ker}(A)</math>)라고 표현한다.  
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 유한집합의 span이 부분공간이 되는 명제로부터 행과 열 공간은 부분공간임을 알 수 있다.
* 행과 열 공간은 각기 다른 유클리드 공간에 있을 수도 있다.
:* 예를 들어 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A</math>에 대해, <math>\operatorname{Row}(A)\in\mathbb R^m</math>이고, <math>\operatorname{Col}(A)\in\mathbb R^n</math>이다. 
}}
{{인용문|
'''예시'''

영공간은 부분공간이다.

{{인용문|
'''증명'''

homogeneous한 선형 연립방정식 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>을 생각하자. 
<math>V</math>를 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>의 해 집합이라고 하자. 즉, <math>V=\operatorname{Null}(A)</math>이다. 
* <math>A\mathbf 0=\mathbf 0</math>이므로 <math>\mathbf 0\in V</math>
* <math>\mathbf u,\mathbf v\in V\Rightarrow\mathbf u+\mathbf v\in V</math>. 이유:
:* <math>\mathbf u,\mathbf v\in V</math>이므로 <math>A\mathbf u=\mathbf 0,A\mathbf v=\mathbf 0</math>
:* <math>A(\mathbf u+\mathbf v)=A\mathbf u+A\mathbf v=\mathbf 0+\mathbf 0=\mathbf 0</math>이므로 <math>\mathbf u+\mathbf v\in V</math>
* <math>\mathbf v\in V,c\in\mathbb R\Rightarrow c\mathbf v\in V</math>. 이유:
:* <math>\mathbf v\in V</math>이므로 <math>A\mathbf v=\mathbf 0</math>  
:* <math>A(c\mathbf v)=c(A\mathbf v)=c\mathbf 0=\mathbf 0</math>이므로 <math>c\mathbf v\in V</math>.
}}
}}
{{인용문|
'''예시'''

행렬 <math>A=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\\\end{pmatrix}</math>를 생각하자. 
* <math>\operatorname{Row}(A)=\operatorname{span}{(\{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3&4&5\end{pmatrix}\})}</math> 
* <math>\operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}{(\{(1,3)^T,(2,4)^T,(3,5)^T\})}</math>
* <math>\operatorname{Null}(A)=\{(x,y,z)^T=(z,-2z,z)^T:z\in\mathbb R\}</math> (여러 가능성 중 하나)
:* <math>\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\end{pmatrix}</math>의 해 집합은 <math>\{(x,y,z)^T=(z,-2z,z)^T:z\in\mathbb R\}</math>이기 때문. 
}}
{{인용문|
'''예시'''

집합 <math>\{(x,y,z)^T:x+y+z=0\}</math>은 <math>\mathbb R^3</math>의 부분집합이다.
{{증명}}

<math>x+y+z=0\iff \begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0</math>, 따라서 집합은 <math>1\times 3</math> 행렬 <math>\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}</math>의 영공간이고, 이는 부분공간이다.
{{증명 끝}}
기하학적으로 이 집합은 <math>\mathbb R^3</math>의 원점을 지나는 평면이다.
}}
{{예제|
Let <math>A=\begin{pmatrix}1&3&2\\3&2&1\\2&1&3\\\end{pmatrix}</math>. 
<quiz display=simple>
{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
+ <math>\operatorname{Row}(A)</math> is a subspace.
+ <math>\operatorname{Col}(A)</math> is a subspace.
- <math>\operatorname{Row}(A)=\operatorname{Col}(A).</math> 
|| <math>\operatorname{Row}(A)</math> is span of set containing row vectors, while <math>\operatorname{Col}(A)</math> is span of set containing column vectors
+ <math>\operatorname{Null}{((A|\mathbf 0))}</math> is a subspace, in which <math>(A|\mathbf 0)</math> is an augmented matrix.
|| null space is a subspace
+ <math>\operatorname{Row}(A^T)=\operatorname{Row}(A)</math> 
|| <math>A^T=A</math>, so the span of the set containing their rows (which are the same) is the same 
</quiz>
}}

이제 좀더 용어적으로 부분공간에 연관된 개념을 알아봅시다.
{{인용문|
'''정의 4. 8. (생성집합)'''

<math>V</math>를 부분공간이라고 하고 <math>S</math>를 <math>V</math>의 부분집합이라고 하자. 집합 <math>S</math>은
<math display=block>
\operatorname{span}(S)=V
</math>이면
<math>V</math>의 생성집합(generating set, 혹은 spanning 집합)이다.

이 경우, <math>S</math>가 <math>V</math>를 만든다(혹은 span한다)고 말할 수 있을 것이다.
}}
{{인용문|
'''정의 4. 9. (기저)'''

Let <math>V</math>를 부분공간이라 하자. <math>V</math>의 기저(basis)는 <math>V</math>의 선형 독립인 생성집합이다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 기저는 중요한 개념이다. 기저는 최소한의 벡터를 통해 <math>V</math>의 전체구조를 말해주기 때문이다.(<math>V</math>의 생성집합은 <math>V</math>의 전체구조를 말해줄 수 있다.)
* 생성집합 속에서 선형독립은 '쓸모없는' 벡터가 없다는 것을 보장해준다.('쓸모없는' 벡터는 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있어서 쓸모없는 벡터가 있으면 선형독립을 유지할 수 없다.)
:* 선형종속 생성집합이 주어졌을 때, 몇몇 벡터를 없애는 것으로 선형독립을 만들 수 있다.(이는 축소 정리로 알려져있다. 이에 대해서는 나중에 논의할 것이다.)
* 기저(basis)의 이니셜이 b이므로 우리의 논의에서 <math>\beta</math>(베타)를 기저를 표현하는데 쓸 것이다.
* 일반적으로 기저는 유일하지 않다.
}}
아래의 정리는 기저의 중요성의 정수를 보여줍니다.
{{인용문|
'''정리'''

<math>V</math>를 <math>\mathbb R^n</math>의 부분공간이라고 하고 <math>\beta</math>를 <math>V</math>의 부분집합이라 하자.
그러면, 오직 <math>\beta</math>가 <math>V</math>의 기저일 때만 
<math>V</math> 안의 각각의 벡터는 유일한 방법으로 <math>\beta</math> 안의 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

* <math>\Rightarrow</math>:
:* <math>\beta</math>는 생성집합이고, 따라서 <math>V</math> 안의 각각의 벡터들은 <math>\operatorname{span}{\beta}</math>를 따른다, 즉, <math>V</math> 안의 각각의 벡터는 <math>\beta</math> 안의 벡터들의 선형결합이다. 
:* 선형결합의 유일성은 선형독립벡터에 대한 계수 비교에 관한 명제를 따른다.
* <math>\Leftarrow</math>: 
:* <math>\beta</math>는 <math>V</math>를 생성한다:
::# 부분공간의 정의에 의해 <math>\operatorname{span}{\beta}\subseteq V</math> (<math>\beta</math> (<math>\beta</math> 안의 벡터들은 <math>\beta\subseteq V</math>이므로 <math>V</math> 안의 벡터들이기도 하다.) 안의 벡터들의 선형결합은 <math>V</math>를 따르기 때문)
::# 한편, <math>V</math>안의 벡터는 <math>\beta</math>안의 벡터의 선형결합으로 표현될 수도 있으므로 <math>V\subseteq\operatorname{span}{\beta}</math>이다. 
::# 따라서, <math>\operatorname{span}{\beta}=V</math>이고, 정의에 의해 <math>\beta</math>는 <math>V</math>를 생성한다.
:* <math>\beta</math>는 선형독립이다:
::* <math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n</math>를 <math>\beta</math>안의 벡터라고 하자, 그리고
::* 모두가 <math>0</math>인 것은 아닌 <math>a_1,\ldots,a_n</math>에 대해 <math>a_1\mathbf v_1+\cdots+a_n\mathbf v_n=\mathbf 0</math>라고 가정하자.(즉, <math>\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n</math>은 선형종속이다.) 따라서 <math>V</math>의 영벡터는 다음 두 가지 방법으로 표현할 수 있다:
<math display=block>
a_1\mathbf v_1+\cdots+a_n\mathbf v_n\text{ and  }0\mathbf v_1+\cdots+0\mathbf v_n,
</math>
::: 이는 선형결합 표현의 유일성에 모순된다.
}}
{{인용문|
'''예시 (표준기저)'''

<math>\mathbf e_1 =(1,0,\dots,0)</math>, <math>\mathbf e_2 =( 0,1,\dots,0)</math>, <math>\mathbf e_n =(0,0,\dots,1)</math>로 정의된 벡터에 대해서 <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\ldots,\mathbf e_n\}</math>는 <math>\mathbb R^n</math>의 기저를 이루고, 특별히 표준기저라고 말한다.

{{인용문|
'''증명'''

<math>S=\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}</math>를 생각하자. 
* <math>S</math>는 아래를 이유로 <math>\mathbb R^n</math>을 생성한다.
<math display=block>
\mathbb R^n=\{(v_1,\ldots,v_n)^T:v_1,\ldots,v_n\in\mathbb R\}=\{v_1\mathbf e_1+\cdots+v_n\mathbf e_n:v_1,\ldots,v_n\in\mathbb R\}=\operatorname{span}(S)
</math>
* <math>S</math>는 아래를 이유로 선형독립이다.
<math display=block>
v_1\mathbf e_1+\cdots+v_n\mathbf e_n=\mathbf 0\implies (v_1,\ldots,v_n)^T=(0,\ldots,0)^T\implies v_1=\cdots=v_n=0
</math>
}}
}}
{{인용문|
'''예시'''

<math>\{(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T\}</math>은 집합 <math>S=\{(x,y,z)^T:x+y+z=0\}</math> 의 기저이다. 
{{인용문|
'''증명'''

<math>x+y+z=0</math>의 일반해는
<math display=block>
(x,y,z)^T=(-s-t,s,t)^T=s(-1,1,0)^T+t(-1,0,1)^T
</math>
이고 여기서 <math>y</math>와 <math>z</math>는 각각 독립적인 매개변수 <math>s</math>, <math>t</math>로 놓았다.
일반해는 <math>(-1,1,0)^T</math>, <math>(-1,0,1)^T</math>, <math>\beta=\{(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T\}</math>의 선형독립이므로 <math>S</math>를 생성한다.

더불어 <math>\beta</math>는 다음의 이유로 선형독립이다.
<math display=block>
a(-1,1,0)^T+b(-1,0,1)^T=(0,0,0)^T\implies (-a-b,a,b)^T=(0,0,0)^T\implies a=b=0.
</math>
}}
각각의 공간에는 무수히 많은 다른 기저가 존재합니다. 이 기저들에 <math>0</math>이 아닌 임의의 스칼라만 곱해도 알 수 있습니다.
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
- <math>\mathbf i,\mathbf j</math> generate <math>\mathbb R^2</math>. 
|| we say a {{colored em|set}} generates another {{colored em|set}}
|| <math>\mathbf i,\mathbf j</math> is not {{colored em|set}} 
|| correct wording is '<math>\{\mathbf i,\mathbf j\}</math> generates <math>\mathbb R^2</math>' 
- <math>\{\mathbf i,\mathbf j\}</math> generates <math>\{\mathbf i+\mathbf j\}</math> 
|| <math>\mathbf 0\notin\{\mathbf i+\mathbf j\}</math>, so <math>\{\mathbf i+\mathbf j\}</math> is not a subspace
- The generating set of a subspace is unique.
|| counterexample: generating set of <math>\mathbb R^2</math> includes <math>\{\mathbf i,\mathbf j\},\{2\mathbf i,\mathbf j\},</math> etc.
- The basis of a subspace is unique.
|| counterexample: basis of <math>\mathbb R^2</math> includes <math>\{\mathbf i,\mathbf j\},\{2\mathbf i,\mathbf j\}.</math>.
+ The basis for column space is a set containing some column vectors.
|| column space is span of set containing some column vector(s)
|| so, a (linearly independent) generating set of column space is still a set containing some column vector(s)
- Let <math>S</math> be a generating set of subspace <math>V</math>. Then, <math>V</math> also generates <math>S</math>. 
|| <math>S</math> may not be a subspace. Then, <math>V</math> cannot generate <math>S</math> by definition
</quiz>
}}

이제, 기저를 구성하는 몇 가지 방법에 대해 논해봅시다.
{{인용문|
'''정리 (확장정리와 축소정리)'''

<math>V</math>를 <math>\mathbb R^n</math>의 부분공간이라 하자. 그러면 다음을 따른다.
* (확장정리) <math>V</math>의 모든 선형독립 부분집합은 <math>V</math>에서의 기저로 확장될 수 있다. 
* (축소정리) 모든 <math>V</math>의 유한한 생성집합은 <math>V</math>에서의 기저로 이루어져 있다. 
}}
{{인용문|
'''참고'''

관습적으로, zero space <math>\{\mathbf 0\}</math>의 기저는 공집합  <math>\varnothing</math>이다. 이 공간의 기저는 유일하다. 
}}
이것의 증명은 복잡합니다.
{{인용문|
'''따름정리(<math>\mathbb R^n</math>의 부분공간에 대한 기저의 존재성)'''

<math>\mathbb R^n</math>의 각각의 부분공간은 기저를 가진다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

공집합 <math>\varnothing</math>부터 시작하자. 
공집합은 선형독입이다.(정의에 의해 선형종속이 될 수 없다.), 그리고 모든 집합의 부분집합이기도 하다.
확장정리에 의해, 이것은 <math>\mathbb R^n</math>의 부분공간의 기저로 확장될 수 있다.
따라서, <math>\mathbb R^n</math>의 각각의 부분공간은 기저를 가지고, 위의 방법으로 찾을 수 있다.
}}
{{인용문|
'''예시 (축소 정리의 활용)'''

부분공간 <math>V=\{(x+2y+3z,2x+3y+4z,5x+8y+11z)^T:x,y,z\in\mathbb R\}</math>의 기저는 <math>\{(1,2,3)^T,(2,3,4)^T\}</math>이다. 
{{인용문|
'''증명'''

다음을 따라 <math>V</math>의 생성집합은 <math>S_1=\{(1,2,3)^T,(2,3,4)^T,(5,8,11)^T\}</math>임을 알고있다.
<math display=block>
(x+2y+3z,2x+3y+4z,5x+8y+11z)^T=x(1,2,3)^T+y(2,3,4)^T+z(5,8,11)^T
</math>
축소정리에 의해 <math>S_1</math>는 반드시 기저를 포함한다.
우리는 <math>(5,8,11)^T=(1,2,3)^T+2(2,3,4)^T</math>임을 알 수 있다.(보이지 않는다면 선형독립(종속)의 정의 속 방정식을 사용해 얻을 수 있을 것이다.)
따라서 <math>V=\operatorname{span}{S_1}</math> 안의 벡터들을 <math>S_2=\{(1,2,3)^T,(2,3,4)^T\}</math>로 생성할 수 있다. 
그러므로, <math>S_2</math>는 더 작은 생성집합이다.
<math display=block>
c_1(1,2,3)^T+c_2(2,3,4)^T=(0,0,0)^T\implies (c_1+2c_2,2c_1+3c_2,3c_1+4c_2)=(0,0,0)^T
</math>이고
이 선형 연립방정식을 표현한 첨가행렬의 RREF는
<math display=block>
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}
</math>이기 때문에,
이 선형 연립방정식의 유일한 해는 <math>c_1=c_2=0</math>, 즉 <math>S_2</math>는 선형독립이다. 
이는 <math>S_2</math>가 기저라는 사실을 따른다.
}}
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{It is given that <math>S=\{(2,0,0)^T,(0,3,0)^T\}</math> is a linearly independent subset of subspace <math>\mathbb R^3</math>. After adding a vector <math>\mathbf v</math> into <math>S</math>,  <math>S</math> becomes a basis for <math>\mathbb R^3</math>. Which of the following is (are) possible choice(s) of <math>\mathbf v</math>?  
|type="[]"}
+ <math>(0,0,1)^T</math> 
|| after adding this, <math>S</math> is still linearly independent
|| also <math>\operatorname{span}(S)=\{(2a,3b,c)^T:a,b,c\in\mathbb R\}=\mathbb R^3</math> 
+ <math>(0,0,2)^T</math> 
|| after adding this, <math>S</math> is still linearly independent
|| also <math>\operatorname{span}(S)=\{(2a,3b,2c)^T:a,b,c\in\mathbb R\}=\mathbb R^3</math> 
- <math>(1,0,0)^T</math> 
|| after adding this, <math>S</math> is linearly dependent, since <math>(2,0,0)^T=0(0,3,0)^T+2(1,0,0)^T</math> 
- <math>(1,2,0)^T</math> 
|| after adding this, <math>S</math> is linearly dependent, since <math>(1,2,0)^T=\frac{1}{2}(2,0,0)^T+\frac{2}{3}(0,3,0)^T(</math> 
</quiz>
}}

기저와 차원은 서로 관련되어 있습니다.
{{인용문|
'''정의 4. 10. (차원)'''

<math>\beta</math>를 <math>\mathbb R^n</math>의 부분공간 <math>V</math>의 기저라고 하자. 
<math>\beta</math>에 있는 벡터의 개수는 <math>V</math>의 차원으로 <math>\operatorname{dim}(V)</math>라고 쓴다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 관습에 의해, zero space <math>\{\mathbf 0\}</math>의 차원은 <math>0</math>이다.
:* 이는 공집합 <math>\varnothing</math>의 벡터의 개수는 <math>0</math>임을 말한다. 
* 부분공간이 더 높은 차원을 가질 때 이 공간은 더 많은 '유연성'을 가진다. 바꿀 수 있는 변수가 더 존재하기 때문이다.
}}
부분공간에서 무수하게 많은 기저가 있다는 것을 상기합시다. 감사하게도 모든 기저들은 같은 개수의 벡터가 존재하고, 부분공간의 차원 역시도 유일합니다.
직관적으로 예상한 것처럼 말이죠.
이는 다음 정리를 따라 보장됩니다.
{{인용문|
'''정리 (차원의 유일성)'''
임의의 부분공간의 차원은 유일하다. 즉, <math>\mathbb R^n</math>의 부분공간 <math>V</math>에 대한 두 개의 유한한 기저 <math>\beta_1</math>와 <math>\beta_2</math>를 놓으면,
<math>\beta_1</math>와 <math>\beta_2</math>의 벡터의 개수는 동일하다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

<math>\beta_1=\{\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_k\}</math>와 <math>\beta_2=\{\mathbf w_1,\ldots,\mathbf w_{\ell}\}</math>를 생각하자. 
그리고 <math>U_{n\times k}</math>와 <math>W_{n\times\ell}</math>를 각각 <math>\mathbf u_i</math>와 <math>\mathbf w_j</math>을 열로 생각하는 행렬이라 하자.

기저의 정의에 의해 <math>\operatorname{span}{\beta_1}=V</math>이고, <math>\operatorname{span}{\beta_2}=V</math>이다. 따라서 <math>\mathbf a_1=(a_{11},\ldots,a_{k1})^T</math>에 대해서
<math display=block>
\mathbf w_1+0\mathbf w_2+\cdots+0\mathbf w_k=a_{11}\mathbf u_1+a_{21}\mathbf u_2+\cdots+a_{k1}\mathbf u_k
\implies \mathbf w_1=U\mathbf a_1
</math>
. 
대칭성을 따라 <math>\mathbf w_2=U\mathbf a_2,\ldots,\mathbf w_{\ell}=U\mathbf a_{\ell}</math>이다. 
따라서 열이 <math>\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_{\ell}</math>인 <math>k\times\ell</math> 행렬 <math>A</math>에 대해, <math>W=UA</math>이다. 

우리는 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>은 자명한 해만을 가진다는 주장(claim<ref>수학과 수업 혹은 수학적인 형식을 좋아하는 사람의 수업을 들으면 자주 마주치는 단어입니다. 저도 알고 싶지 않았어요.</ref>)을 할 수 있고, 이는 사실이다. 왜냐하면:
* <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>이면, 선형독립과 선형 연립방정식의 해의 개수의 관계에 대한 명제로 <math>W</math>의 열들이 선형독립이기 때문에 <math>W\mathbf x=UA\mathbf x=U\mathbf 0=\mathbf 0</math>이고, 따라서<math>\mathbf x=0</math>이다.

따라서 <math>(A|\mathbf 0)</math>의 RREF(<math>\ell+1</math> 열을 가짐)는 마지막 열을 제외한 모든 열에 선행성분을 가진다.
Since there are  rows in 첨가행렬 <math>(A|\mathbf 0)</math>의 행은 <math>k</math>행이기 때문에, <math>k\ge\ell</math> (만약 <math>k<\ell</math>이면, 많아봤자 <math>k<\ell</math> 개의 선행성분이 있기 때문에 <math>\ell</math>개의 선행성분을 가질 수 없다.)

대칭성에 의해 (<math>\beta_1</math>과 <math>\beta_2</math>의 자리를 바꿔보자), <math>k\le\ell</math>이고 따라서 <math>k=\ell</math>이다.  
}}
{{인용문|
'''예시 (유클리드 공간의 차원)'''

<math>\mathbb R^n</math>의 차원은 <math>n</math>이다. <math>\mathbb R^n</math>의 표준기저 <math>\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}</math>는 <math>n</math> 개의 벡터를 가지고 있기 때문이다.
}}
{{인용문|
'''예시 (평면의 차원)'''

부분공간 <math>\{(x,y,z)^T:x+y+z=0\}</math>의 차원은 <math>2</math>다. (앞선 예시에서)<math>\{(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T\}</math>는 이 부분공간의 기저이고, <math>2</math>개의 벡터를 갖는다.
기하학적으로 이 부분공간은 평면이다.
그리고 일반적으로 모든 평면은 <math>2</math>차원이다.
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
+ The number of vectors in each finite generating set of subspace <math>V</math> is greater than or equal to the dimension of <math>V</math>.
|| by reduction theorem, each such generating set consists of a basis for <math>V</math>, so the number of vectors in each such generating set is greater than or equal to the dimension
- The dimension of row space of a matrix is its number of rows.
|| counterexample: row space of <math>\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}</math> is zero space, so its dimension is <math>0</math>, but there are two rows in the matrix.
- The dimension of column space of a matrix is its number of columns.
|| counterexample: column space of <math>\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}</math> is zero space, so its dimension is <math>0</math>, but there are two columns in the matrix.
</quiz>
}}

이제 행, 열, 영공간의 기저와 차원에 대해 논해봅시다.
{{인용문|
'''명제 (행공간의 차원)'''

<math>A</math>를 행렬이라 하고 <math>R</math>를 <math>A</math>의 RREF라고 하자. 
그러면, the set of all nonzero rows of <math>R</math>의 <math>0</math>이 아닌 모든 행의 집합은 <math>\operatorname{Row}(A)</math>의 기저다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

행공간은 기본행연산에 대해 불변이라는 사실을 이용하자. 예를 들어,
* (치환) <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3\})}=\operatorname{span}{(\{\mathbf r_2,\mathbf r_1,\mathbf r_3\})}</math> 
* (스칼라 곱셈) <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3\})}=\operatorname{span}{(\{k\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3\})}</math> 
* (덧셈) <math>\operatorname{span}{(\{\mathbf r_1,\mathbf r_2,\mathbf r_3\})}=\operatorname{span}{(\{\mathbf r_1+k\mathbf r_2,\mathbf r_2,\mathbf r_3\})}</math> 
이것을 사실이라 가정하면 <math>\operatorname{Row}(A)=\operatorname{Row}(R)</math>이다. 
<math>R</math>의 <math>0</math>이 아닌 행이 <math>\operatorname{Row}(R)</math>를 생성한다는 것은 증명할 수 있고, 이들은 선형적으로 독립이므로, 
<math>0</math>이 아닌 행을 <math>\operatorname{Row}(R)=\operatorname{Row}(A)</math>의 기저로 선택할 수 있다. 
}}
{{인용문|
'''참고'''

<math>\operatorname{Row}(A)</math>의 다른 기저는 <math>R</math>의 <math>0</math>이 아닌 행에 대응하는 <math>A</math>의 모든 행의 집합이다. (즉, <math>R</math>의 <math>0</math>이 아닌 집합의 위치에 놓여있는 행의 집합)
이는 행공간을 생성하기도 하면서 선형독립이기 때문이다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

<math>A=\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}</math>를 생각하자. 
이것의 RREF가 <math>\begin{pmatrix}1&0&-11\\0&1&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math>임은 증명할 수 있고, 그러므로
<math>\beta=\{\begin{pmatrix}1&0&-11\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1&5\end{pmatrix}\}</math> (<math>\beta</math>가 선형독립임도 증명할 수 있다.)는 <math>\operatorname{Row}(A)</math>의 기저이고, 
이것은 <math>2</math>차원이다.

또다른 기저는 <math>\{\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&5&3\end{pmatrix}\}</math>이고, RREF에서의 <math>0</math>이 아닌 행에 대응되는 행이다.
}}
{{인용문|
'''명제 (열공간의 기저)'''

<math>A</math>를 열이 <math>\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n</math>인 행렬이라 하고, <math>R</math>를 <math>A</math>의 RREF라고 하자.
열들 <math>i_1,\ldots,i_k</math>을 <math>R</math>에서의 선행성분을 포함하는 열만을 말한다고 하자.(선행성분이 존재하는 열들의 index이다.) 
그러면 <math>\{\mathbf a_{i_1},\ldots,\mathbf a_{i_k}\}</math>는 
<math>\operatorname{Col}(A)</math>의 기저이다.
}}
{{인용문|
'''증명'''

가우스-요르단 소거법을 사용해서, <math>(A|\mathbf 0)</math>를 <math>(R|\mathbf 0)</math>로 바꿀 수 있다.(기본 행연산) 그리고 이것들의 행은 동일하다. 
따라서 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>와 <math>R\mathbf x=\mathbf 0</math>은 똑같은 해 집합을 갖는다. 
그러므로 <math>A</math>의 열의 선형독립(종속)성은 <math>R</math>의 열의 선형독립(종속)성에 대응된다는 것을 증명할 수 있다.
이는 <math>\{\mathbf a_{i_1},\ldots,\mathbf a_{i_k}\}</math>가 선형독립임과 다른 모든 열이 이 집합의 span에 속한다는 것을 알려준다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

<math>A=\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}</math>이라 하자. 이전 예시에서, 
<math>A</math>의 RREF는 <math>\begin{pmatrix}{\color{green}1}&0&-11\\0&{\color{green}1}&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math>이었다.
따라서 선행성분이 존재하는 <math>R</math>의 열, 1열과 2열에 대응하는 <math>A</math>의 열들이 기저이다.
그러므로 <math>\{(1,2,6)^T,(4,5,15)^T\}</math>는 <math>\operatorname{Col}(A)</math>의 기저이다. 

<math>\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3</math>를 각각 <math>A</math>의 첫번째, 두번째, 세번째 열이라고 하면, <math>\mathbf a_3=-11\mathbf a_1+5\mathbf a_2</math>이다. 이 표기를 <math>R</math>의 열에 대신 넣는다고 하면, 같은 방정식이 성립한다.
}}
{{인용문|
'''예시 (영공간의 기저)'''

<math>A=\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}</math>를 생각하자. 이전의 예시를 따라서, 
<math>A</math>의 RREF는 <math>\begin{pmatrix}{\color{green}1}&0&-11\\0&{\color{green}1}&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math>이다.
<math>\{(11,-5,1)^T\}</math>는 <math>\operatorname{Null}(A)</math>의 기저이고, 그 이유는 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>의 해 집합이 <math>\{\mathbf x=(11t,-5t,t):t\in\mathbb R\}</math>이기 때문이고, 차원은 <math>1</math>이다. 
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Let <math>A</math> be a matrix, and <math>R</math> be its RREF. Select all correct statement(s).
|type="[]"}
- A basis for <math>\operatorname{Col}(A)</math> is the set of all columns of <math>R</math> containing leading ones.
|| counterexample: consider the above example: <math>A=\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}</math>, <math>R=\begin{pmatrix}{\color{green}1}&0&-11\\0&{\color{green}1}&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}</math>  
|| then, the set of all columns of <math>R</math> containing leading ones is <math>\{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T\}</math>, and the span of this set does not contain some vectors in <math>\operatorname{Col}(A)</math>, e.g. <math>(1,2,6)^T</math>  
- Each basis for <math>\operatorname{Col}(I_3)</math> and <math>\operatorname{Row}(I_3)</math> contains the same number of vectors.
|| each basis contains three vectors:
|| e.g. a basis for <math>\operatorname{Col}(A)</math> is <math>\{(2,0,0)^T,(0,3,0)^T,(0,0,4)^T\}</math> 
|| all other bases for <math>\operatorname{Col}(A)</math> are just sets containing nonzero multiple of the vectors
|| e.g. a basis for <math>\operatorname{Row}(A)</math> is <math>\{(6,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,8)^T\}</math> 
|| all other bases for <math>\operatorname{Row}(A)</math> are just sets containing nonzero multiple of the vectors
+ Dimension of <math>\operatorname{Row}(A)</math> is the number of leading ones in <math>R</math> 
|| each nonzero row of <math>R</math> contains one leading ones
+ The dimension of the basis for <math>\operatorname{Row}(A)</math> is smaller than or equal to the number of rows of <math>A</math>. 
|| let the number of rows of <math>A</math> be <math>m</math> 
|| <math>\operatorname{Row}(A)</math> is the span of the set containing <math>m</math> rows of <math>A</math>  
|| so, the set containing <math>m</math> rows of <math>A</math> generates <math>\operatorname{Row}(A)</math> 
|| by reduction theorem, this set consists of a basis for <math>\operatorname{Row}(A)</math> 
|| thus, the dimension (number of vectors in) of the basis for <math>\operatorname{Row}(A)</math> is smaller than or equal to <math>m</math> 
+ The dimension of the basis for <math>\operatorname{Col}(A)</math> is smaller than or equal to the number of columns of <math>A</math>. 
|| let the number of rows of <math>A</math> be <math>n</math> 
|| <math>\operatorname{Col}(A)</math> is the span of the set containing <math>n</math> columns of <math>A</math>  
|| so, the set containing <math>n</math> columns of <math>A</math> generates <math>\operatorname{Col}(A)</math> 
|| by reduction theorem, this set consists of a basis for <math>\operatorname{Col}(A)</math> 
|| thus, the dimension (number of vectors in) of the basis for <math>\operatorname{Col}(A)</math> is smaller than or equal to <math>n</math> 
</quiz>
}}
{{인용문|
'''명제 (영공간의 차원)'''

<math>A</math>를 행렬이라 하고, <math>\operatorname{Null}(A)</math>의 차원은 <math>A\mathbf x=\mathbf 0</math>의 해 집합 안의 독립 미지수의 개수다. 
}}
{{인용문|
'''증명'''

위의 예시에서 증명의 아이디어를 얻자: <math>k</math>라고 하는 독립 미지수가 해 집합 안에 있다고 하면, 해 집합을 생성하기 위해선 적어도 <math>k</math> 개의 벡터들이 집합 안에 구성되어야 한다.
}}
행공간, 열공간, 영공간의 차원에는 다음과 같은 특별한 이름이 붙습니다:
{{인용문|
'''정의 4. 11. (행 랭크, 열 랭크, nullity)'''

<math>A</math>를 행렬이라고 하자. <math>\operatorname{Row}(A)</math>, <math>\operatorname{Col}(A)</math>, <math>\operatorname{Null}(A)</math>의 차원은 각각 
<math>A</math>의 행 랭크(row rank), 열 랭크(column rank), nullity라 부른다. 이것을 각각 <math>\operatorname{row\;rank}(A)</math>, <math>\operatorname{column\;rank}(A)</math>, <math>\operatorname{nullity}(A)</math>라고 표현한다.
}}
이에 더해 같은 행렬의 행 랭크와 열 랭크는 같습니다.
{{인용문|
'''명제'''

각각의 행렬 <math>A</math>에 대하여,
<math>\operatorname{row\;rank}(A)=\operatorname{column\;rank}(A)</math>는 <math>A</math>의 RREF의 선행성분의 개수다. 
}}
{{인용문|
'''증명'''

열공간(<math>k</math> 열벡터가 있으면, 가정에 의해 <math>k</math>는 선행성분의 개수이다.)과 행공간(<math>0</math>이 아닌 행의 수는 <math>A</math>의 RREF의 선행성분의 개수이다.)에서의 기저에 대한 명제를 통해 얻은 기저에서 볼 수 있다.
}}
이러한 명제 덕분에, 우리는 다음을 정의할 수 있습니다.
{{인용문|
'''정의 4. 12. (랭크)'''

<math>A</math>를 행렬이라 하자. <math>A</math>의 랭크는 <math>\operatorname{rank}(A)</math>라고 표기하고, <math>A</math>의 행 랭크와 열 랭크의 값과 같다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

우리는 보통 행 랭크나 열 랭크 같은 표현은 내다던지고 이 용어를 사용한다.
}}
이제, 랭크와 nullity에 관련한 중요한 정리를 소개하겠습니다.
{{인용문|
'''정리 (차원정리)'''

<math>A</math>를 <math>m\times {\color{green}n}</math> 행렬이라 하자.
그러면
<math display=block>
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)={\color{green}n}
</math>
}}
{{인용문|
'''증명'''

<math>R</math>를 <math>A</math>의 RREF라고 하자. <math>\operatorname{rank}(A) </math>는 <math>R</math>의 선행성분의 개수이고, and 
<math>\operatorname{nullity}(A)</math>는 <math>{\color{green}n}</math>에서 <math>R</math>의 선행성분을 뺀, <math>R\mathbf x=\mathbf 0</math>의 독립 미지수의 개수이다. 
□
}}
{{인용문|
'''예시'''

<math>A=\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}</math>를 또 생각하자. 또 전의 예시들과 같이, 
* <math>\{\begin{pmatrix}1&0&-11\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1&5\end{pmatrix}\}</math>는 <math>\operatorname{Row}(A)</math>의 기저이고, 
* <math>\{(1,2,6)^T,(4,5,15)^T\}</math>는 <math>\operatorname{Col}(A)</math>의 기저이고, 
* <math>\{(11,-5,1)^T\}</math>은 <math>\operatorname{Null}(A)</math>의 기저이다.
따라서 <math>\operatorname{rank}(A)=2</math>이고 <math>\operatorname{nullity}(A)=1</math>이다. 
<math>A</math>의 열의 개수는 <math>3</math>개이므로, 이것은 차원정리를 잘 따른다.
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
{Select all correct statement(s).
|type="[]"}
+ <math>\operatorname{rank}(O)=0</math> 
- <math>\operatorname{rank}(I)=1</math> 
|| counterexample: <math>I_2</math> is in RREF, and it has two leading ones, so its rank is <math>2</math> 
- <math>\operatorname{nullity}(O)=0</math> 
|| counterexample: <math>O_2\mathbf x=\mathbf 0</math> has two independent unknowns.
|| alternatively, by rank-nullity theorem, since <math>\operatorname{rank}(O_2)=0</math>, <math>\operatorname{nullity}(O_2)=2-0=2</math>  
- <math>\operatorname{nullity}(I)=1</math> 
|| <math>I\mathbf x=\mathbf 0</math> has zero independent unknown, since it has only trivial solution (by invertibility of <math>I</math>, or reading the augmented matrix representing this SLE directly)
+ <math>A</math> is invertible if and only if <math>\operatorname{rank}(A)</math> is the number of columns of <math>A</math>. 
|| <math>A</math> is invertible if and only if the homogeneous SLE only has the trivial solution 
|| thus, the number of independent unknowns is <math>0</math>, and so <math>\operatorname{nullity}(A)=0</math> 
|| it follows from rank-nullity theorem that <math>\operatorname{rank}(A)</math> is the number of columns of <math>A</math> 
</quiz>
}}

[[분류:선형대수학|벡터와 부분공간]]