선형대수학 입문/벡터와 부분공간

벡터

소개

먼저, 행 벡터와 열 벡터를 구분하지 말고 벡터를 정의합시다: 틀:인용문 틀:인용문

표준기저벡터는 벡터의 특별한 경우다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 위에서는 순서쌍을 통해 벡터를 정의했지만, 행렬은 행과 열로 나누어지기 때문에 선형대수학에서는 가끔씩 행 벡터와 열 벡터를 구분할 필요가 있습니다. 이들의 정의는 다음과 같습니다: 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 덧셈과 스칼라 곱셉은 벡터연산의 기본적인 두 가지 연산입니다. 두 개의 연산만을 사용해서 다음의 정의를 따라 우리는 수많은 벡터를 조합할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

선형결합과 밀접하게 연관되어 있는 또다른 개념으로 span이 있습니다.

${ℝ}^3$에 속하는 두 벡터 $𝐮$와 $𝐯$의 span은 그림의 바둑판 평면입니다.

선형독립

${ℝ}^3$ 공간 속 선형독립인 3개의 벡터들

${ℝ}^3$ 공간 속 선형종속인 3개의 벡터들

틀:인용문 틀:인용문 이제, 우리는 선형종속의 직관적인 결과에 대해서 말할 수 있을 것 같습니다. 왜 '선형종속' 같은 말을 쓰는지를 잘 설명해주는 결과에 대해서 말이죠. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문

이제, 선형독립인 벡터들의 명제를 소개하겠습니다. 틀:인용문

이제 선형독립과 선형 연립방정식에 관련된 두 개의 결과를 논할 것입니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

부분공간

이제 부분공간에 대해서 논해봅시다. 간단하게 말해서 부분공간이란 좋은 성질을 가지고 있는 ${ℝ}^n$의 어떤 부분집합입니다. 좀 더 엄밀하게 하기 위해 다음과 같이 정의합시다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 이 예시를 통해서 성분 그 자체는 사실 중요하지 않다는 것을 볼 수 있습니다. 게다가 다음과 같은 일반적인 결론까지 내릴 수 있습니다: 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

특히, 어떤 span은 특별한 이름을 가지고 있습니다: 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

이제 좀더 용어적으로 부분공간에 연관된 개념을 알아봅시다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 아래의 정리는 기저의 중요성의 정수를 보여줍니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

이제, 기저를 구성하는 몇 가지 방법에 대해 논해봅시다. 틀:인용문 틀:인용문 이것의 증명은 복잡합니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

기저와 차원은 서로 관련되어 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 부분공간에서 무수하게 많은 기저가 있다는 것을 상기합시다. 감사하게도 모든 기저들은 같은 개수의 벡터가 존재하고, 부분공간의 차원 역시도 유일합니다. 직관적으로 예상한 것처럼 말이죠. 이는 다음 정리를 따라 보장됩니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제

이제 행, 열, 영공간의 기저와 차원에 대해 논해봅시다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제 틀:인용문 틀:인용문 행공간, 열공간, 영공간의 차원에는 다음과 같은 특별한 이름이 붙습니다: 틀:인용문 이에 더해 같은 행렬의 행 랭크와 열 랭크는 같습니다. 틀:인용문 틀:인용문 이러한 명제 덕분에, 우리는 다음을 정의할 수 있습니다. 틀:인용문 틀:인용문 이제, 랭크와 nullity에 관련한 중요한 정리를 소개하겠습니다. 틀:인용문 틀:인용문 틀:인용문 틀:예제