미분과 적분/함수의 극한 문서 원본 보기

==함수의 극한==
# 함수 <math>f(x)</math>에 대하여 <math>x</math>가 <math>a</math>와 다른 값을 가지면서 <math>a</math>에 한없이 가까워질 때, 함숫값 <math>f(x)</math>가 일정한 값 <math>\alpha</math>에 한없이 가까워지면 '''함수 <math>f(x)</math>는 <math>\alpha</math>에 수렴한다'''고 하고, 이것을 기호로 <math>\lim_{x \to a} f(x)=\alpha</math> 또는 <math>x \to a</math>일 때, <math>f(x) \to \alpha</math>와 같이 나타낸다. 이때 <math>\alpha</math>를 '''<math>x \to a</math>일 때의 함수 <math>f(x)</math>의 극한값 또는 극한'''이라고 한다.
# 특히 함수 <math>f(x)=c</math> <math>(c</math>는 상수<math>)</math>는 모든 실수 <math>x</math>에 대하여 함수 <math>f</math>에 대한 <math>x</math>의 함숫값이 항상 <math>c</math>이므로 <math>a</math>의 값에 관계없이 <math>\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} c=c</math>이다.
# 함수 <math>f(x)</math>에 대한 <math>x=a</math>의 함숫값 <math>f(a)</math>가 존재하면 '''함수 <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 정의되어 있다'''고 한다.
# 함수 <math>f(x)</math>에 대하여 <math>x \to a</math>일 때, 함숫값 <math>f(x)</math>가 한없이 커지면 '''함숫값 <math>f(x)</math>는 양의 무한대로 발산한다'''고 하고, 이것을 기호로 <math>\lim_{x \to a} f(x)=\infty</math> 또는 <math>x \to a</math>일 때, <math>f(x) \to \infty</math>와 같이 나타낸다.
# 함수 <math>f(x)</math>에 대하여 <math>x \to a</math>일 때, 함숫값 <math>f(x)</math>가 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 '''함숫값 <math>f(x)</math>는 음의 무한대로 발산한다'''고 하고, 이것을 기호로 <math>\lim_{x \to a} f(x)=-\infty</math> 또는 <math>x \to a</math>일 때, <math>f(x) \to -\infty</math>와 같이 나타낸다.
# 함수 <math>f(x)</math>에 대하여 <math>x</math>가 한없이 커질 때 함숫값 <math>f(x)</math>가 일정한 값 <math>\alpha</math>에 한없이 가까워지는 것을 기호로 <math>\lim_{x \to \infty} f(x)=\alpha</math> 또는 <math>x \to \infty</math>일 때, <math>f(x) \to \alpha</math>와 같이 나타낸다.
# 함숫값 <math>f(x)</math>가 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 때에도 각각 다음과 같은 기호를 사용하여 나타낸다.
:<math>\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty, \lim_{x \to \infty} f(x)=-\infty</math>
:<math>\lim_{x \to -\infty} f(x)=\infty, \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty</math>

==우극한과 좌극한==
# <math>x</math>가 <math>a</math>보다 큰 값을 가지면서 <math>a</math>에 한없이 가까워지는 것을 <math>x \to a+0</math>과 같이 나타내고, <math>x</math>가 <math>a</math>보다 작은 값을 가지면서 <math>a</math>에 한없이 가까워지는 것을 <math>x \to a-0</math>과 같이 나타낸다.
# 특히 <math>x \to 0+0</math>은 <math>x \to +0</math>으로, <math>x \to 0-0</math>은 <math>x \to -0</math>으로 나타낸다.
# 함수 <math>f(x)</math>에 대하여 <math>x \to a+0</math>일 때, 함숫값 <math>f(x)</math>가 일정한 값 <math>\alpha</math>에 한없이 가까워지면 <math>\alpha</math>를 '''<math>x \to a</math>일 때의 함수 <math>f(x)</math>의 우극한 또는 우극한값'''이라 하고, 이것을 기호로 <math>\lim_{x \to a+0} f(x)=\alpha</math>와 같이 나타낸다.
# 함수 <math>f(x)</math>에 대하여 <math>x \to a-0</math>일 때, 함숫값 <math>f(x)</math>가 일정한 값 <math>\beta</math>에 한없이 가까워지면 <math>\beta</math>를 '''<math>x \to a</math>일 때의 함수 <math>f(x)</math>의 좌극한 또는 좌극한값'''이라 하고, 이것을 기호로 <math>\lim_{x \to a-0} f(x)=\beta</math>와 같이 나타낸다.
# <math>x \to a</math>일 때, 함수 <math>f(x)</math>의 극한값이 <math>\alpha</math>라는 것은 <math>x \to a</math>일 때의 우극한값과 좌극한값이 존재하고, 그 값이 모두 <math>\alpha</math>와 같음을 뜻한다. 즉, <math>\lim_{x \to a} f(x)=\alpha \iff \lim_{x \to a+0} f(x)=\lim_{x \to a+0} f(x)=\alpha</math>
# 우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면, 즉 <math>\lim_{x \to a+0} f(x) \neq \lim_{x \to a-0} f(x)</math>이면 극한값 <math>\lim_{x \to a} f(x)</math>는 존재하지 않는다.

==함수의 극한에 대한 성질==
<math>\lim_{x \to a} f(x)=\alpha, \lim_{x \to a} g(x)=\beta</math>일 때, 다음 성질 1~5가 성립한다. <math>(</math>단, <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>는 실수<math>)</math>
# <math>\lim_{x \to a} kf(x)=k\lim_{x \to a} f(x)=k\alpha</math> (단, <math>k</math>는 상수)
# <math>\lim_{x \to a} \{f(x)+g(x)\}=\lim_{x \to a} f(x)+\lim_{x \to a} g(x)=\alpha+\beta</math>
# <math>\lim_{x \to a} \{f(x)-g(x)\}=\lim_{x \to a} f(x)-\lim_{x \to a} g(x)=\alpha-\beta</math>
# <math>\lim_{x \to a} f(x)g(x)=\lim_{x \to a} f(x)\lim_{x \to a} g(x)=\alpha\beta</math>
# <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}</math> (단, <math>g(x)\neq0</math>, <math>\beta\neq0</math>)
* 함수의 극한에 대한 성질은 <math>x \to a+0, x \to a-0, x \to \infty, x \to -\infty</math>일 때에도 성립함이 알려져 있다.
* 분수함수의 극한에서 <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\alpha</math> <math>(\alpha</math>는 실수<math>)</math>일 때, <math>\lim_{x \to a} g(x)=0 \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x)=0</math>
* 특히, 분수함수의 극한에서 <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\alpha</math> <math>(\alpha \neq 0)</math>일 때, <math>\lim_{x \to a} g(x)=0 \iff \lim_{x \to a} f(x)=0</math>

==함수의 극한의 대소 관계==
<math>a</math>에 가까운 모든 값 <math>x</math>에 대하여 다음 대소 관계 1, 2가 성립한다.
# <math>f(x) \le g(x)</math>이고, <math>\lim_{x \to a} f(x)=\alpha, \lim_{x \to a} g(x)=\beta</math>이면 <math>\alpha \le \beta</math>
# <math>f(x) \le g(x) \le h(x)</math>이고, <math>\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} h(x)=\alpha</math>이면 <math>\lim_{x \to a} g(x)=\alpha</math>