기초 수학/수와 식의 계산/수의 연산 문서 원본 보기

{{안내|책=기초 수학/수와 식의 계산|현재=수의 연산|다음=문자의 사용과 식의 계산}}
'''수의 연산''' 단원에서는 제곱근의 뜻과 성질, 무리수의 개념, 근호를 포함한 식의 사칙계산을 다룬다.<ref>{{서적 인용|url=http://www.ncic.re.kr/nation.dwn.ogf.inventoryList.do;jsessionid=E070550267FEA3A47BF2A2F17C324012|제목=교육과학기술부 고시 제 2011-361호 <nowiki>[별책 8]</nowiki> 수학과 교육과정|출판사=대한민국 교육과학기술부|연도=2011|쪽=41}}</ref>

== 제곱근의 뜻과 성질 ==
=== 제곱근의 뜻 ===
{{위키백과|제곱근}}
어떤 수 <math>x</math>가 있을 때 그 수를 제곱한 수를 <math>y</math>라고 하자. 이 때 <math>x</math>를 <math>y</math>의 '''제곱근'''(제곱根, Square root)이라고 한다.<ref name="제곱근">{{백과사전 인용|url=http://www.doopedia.co.kr/doopedia/master/master.do?_method=view&MAS_IDX=101013000858750|제목=제곱근|백과사전이름=두피디아}}</ref> 즉, 어떤 수 <math>a</math>가 있다고 가정하면, [[:w:ko:거듭제곱|제곱]]하여 <math>a</math>가 되는 [[:w:ko:실수|실수]]를 <math>a</math>의 '''제곱근'''이라고 한다. 어떤 수 <math>a</math>의 제곱근 중 [[:w:ko:양수 (수학)|양수]]인 수를 '''양의 제곱근'''이라고 하며, <math>\sqrt x</math>로 표기하고 '루트 <math>x</math>' 또는 '제곱근 <math>x</math>'라고 읽는다. 마찬가지로 어떤 수 <math>a</math>의 제곱근 중 [[:w:ko:음수 (수학)|음수]]인 수를 '''음의 제곱근'''이라고 하며, <math>-\sqrt x</math>로 표기한다.

예를 들어, <math>3^2=(-3)^2=9</math>이므로, <math>9</math>의 제곱근은 <math>3</math>과 <math>-3</math>이고, <math>\sqrt 9=3</math>이다.

=== 제곱근의 성질 ===
제곱근은 다음과 같은 성질이 있다.<ref name="제곱근"/><ref>{{백과사전 인용|url=http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=925947|제목=제곱근의 성질|백과사전이름=Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전|출판사=신원문화사|저자=장지경|연도=2007}}</ref>

* <math>a>0</math>일 때 (<math>a</math>는 실수)
** <math>(\sqrt a)^2=a, (-\sqrt a)^2=a</math>
** <math>\sqrt {a^2}=a, \sqrt {(-a)^2}=a</math>

* <math>a>0</math>일 때, <math>\sqrt {a^2}=|a|=a</math>
* <math>a<0</math>일 때, <math>\sqrt {a^2}=|a|=-a</math>

=== 제곱근의 대소 관계 ===
제곱근의 대소 관계는 아래와 같다.<ref>{{백과사전 인용|url=http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=925948|제목=제곱근의 대소 관계|백과사전이름=Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전|출판사=신원문화사|저자=장지경|연도=2007}}</ref>

* <math>a>0, b>0</math>일 때
** <math>a<b</math>이면, <math>\sqrt a<\sqrt b, -\sqrt a>-\sqrt b</math>
** <math>\sqrt a<\sqrt b</math>이면, <math>a<b</math>

== 무리수의 개념 ==
[[파일:Square root of 2 triangle.svg|섬네일|<math>\sqrt 2</math>는 무리수이다.|150px]]
=== 무리수의 뜻 ===
{{위키백과|무리수}}
'''무리수'''(無理數, Irrational number)는 두 [[:w:ko:정수|정수]]의 비의 형태로 나타낼 수 없는 [[:w:ko:실수|실수]]이다.<ref>{{백과사전 인용|url=http://www.doopedia.co.kr/doopedia/master/master.do?_method=view&MAS_IDX=101013000710340|제목=무리수|백과사전이름=두피디아}}</ref> 즉, 실수 중 [[:w:ko:유리수|유리수]]가 아닌 수를 말하며, 순환하지 않는 [[:w:ko:무한소수|무한소수]]이다.<ref>{{백과사전 인용|url=http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=925949|제목=무리수|백과사전이름=Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전|출판사=신원문화사|저자=장지경|연도=2007}}</ref>

=== 실수의 뜻 ===
{{위키백과|실수}}
'''실수'''(實數, Real number) [[:w:ko:무리수|무리수]]와 [[:w:ko:유리수|유리수]]를 총칭하는 수이다.<ref>{{백과사전 인용|url=http://www.doopedia.co.kr/doopedia/master/master.do?_method=view&MAS_IDX=101013000849898|제목=실수|백과사전이름=두피디아}}</ref> 즉, 실수는 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합이다.

== 근호를 포함한 식의 사칙계산 ==
=== 제곱근의 곱셈 ===
제곱근의 곱셈 연산은 다음과 같다.<ref name="제곱근의 곱셈과 나눗셈">{{백과사전 인용|url=http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=925952|제목=제곱근의 곱셈과 나눗셈|백과사전이름=Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전|출판사=신원문화사|저자=장지경|연도=2007}}</ref>

* <math>a>0, b>0</math>이고, <math>m, n</math>이 유리수일 때
** <math>\sqrt a \times \sqrt b=\sqrt {ab}</math>
** <math>\sqrt{ a^2b}=a \sqrt b, \sqrt {ab^2} = b \sqrt a</math>
** <math>m \sqrt a \times n \sqrt b = mn \sqrt {ab}</math>
** <math>(\sqrt {ab})^2=(\sqrt a \sqrt b)^2=(\sqrt a)^2(\sqrt b)^2=ab</math>

=== 제곱근의 나눗셈 ===
제곱근의 나눗셈 연산은 다음과 같다.<ref name="제곱근의 곱셈과 나눗셈"/>

* <math>a>0, b>0</math>이고, <math>m, n</math>이 유리수일 때
** <math>{\sqrt a \over \sqrt b}=\sqrt {a \over b}</math>
** <math>\sqrt {a \over b^2}={\sqrt a \over \sqrt {b^2}}={\sqrt a \over b}</math>
** <math>m \sqrt a \div n \sqrt b = {m \over n}{\sqrt {a \over b}}</math>
** <math>\left( \sqrt {a \over b} \right) ^2=\left( {\sqrt a \over \sqrt b} \right) ^2={(\sqrt a)^2 \over (\sqrt b)^2}={a \over b}</math>

=== 제곱근의 덧셈과 뺄셈 ===
제곱근의 덧셈과 뺄셈 연산은 다음과 같다.<ref name="제곱근의 덧셈과 뺄셈">{{백과사전 인용|url=http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=925954|제목=제곱근의 덧셈과 뺄셈|백과사전이름=Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전|출판사=신원문화사|저자=장지경|연도=2007}}</ref>

* <math>a>0</math>이고, <math>m, n</math>이 유리수일 때
** <math>m \sqrt a + n \sqrt a = (m+n) \sqrt a</math>
** <math>m \sqrt a - n \sqrt a = (m-n) \sqrt a</math>

=== 분모의 유리화 ===
{{위키백과|분모의 유리화}}
분모가 무리수인 [[:w:ko:분수 (수학)|분수]]의 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 '''분모의 유리화'''(有理化, Rationalization)라고 한다. 무리수인 분모를 유리수가 되도록 분모와 분자에 같은 수를 곱해 정리하는 방법으로, 분모를 유리화하는 구체적인 과정은 다음과 같다.<ref>{{백과사전 인용|url=http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=945420|제목=분모의 유리화|백과사전이름=Basic 고교생을 위한 수학공식 활용사전|출판사=신원문화사 |저자=김종호|연도=2007}}</ref>

* <math>a>0, b>0</math>일 때
** <math>{a \over \sqrt b} = {a \times \sqrt b \over \sqrt b \times \sqrt b} = {a \sqrt b \over (\sqrt b)^2} = {a \sqrt b \over b}</math>
** <math>{\sqrt a \over \sqrt b} = {\sqrt a \times \sqrt b \over \sqrt b \times \sqrt b} = {\sqrt a \sqrt b \over (\sqrt b)^2} = {\sqrt {ab} \over b}</math>
** <math>{a \over {\sqrt b + \sqrt c}} = {a (\sqrt b - \sqrt c) \over (\sqrt b + \sqrt c)(\sqrt b - \sqrt c)} = {a \sqrt b - a \sqrt c \over b - c}</math>

=== 실수의 대소 관계 ===
두 실수 <math>a, b</math>의 대소 관계는 다음과 같은 방법을 통해 알 수 있다.<ref>{{백과사전 인용|url=http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=925951|제목=실수의 대소관계|백과사전이름=Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전|출판사=신원문화사 |저자=김종호|연도=2007}}</ref>

* <math>a, b</math>가 실수일 때
** <math>a-b>0</math>이면 <math>a>b</math>
** <math>a-b=0</math>이면 <math>a=b</math>
** <math>a-b<0</math>이면 <math>a<b</math>

== 각주 ==
<references/>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|url=http://www.ncic.re.kr/nation.dwn.ogf.inventoryList.do;jsessionid=E070550267FEA3A47BF2A2F17C324012|제목=교육과학기술부 고시 제 2011-361호 <nowiki>[별책 8]</nowiki> 수학과 교육과정|출판사=대한민국 교육과학기술부|연도=2011}}
{{단원 안내|책=기초 수학/수와 식의 계산|상위=수와 식의 계산|다음=문자의 사용과 식의 계산}}

[[분류:기초 수학|수와 식의 계산/수의 연산]]