선형대수학 입문/행렬

모티베이션

행렬을 이용하는 가장 중요한 이유 중 하나는 선형 연립방정식을 풀기 위한 것입니다. 몇몇 정의를 따라가다보면 아예 선형 연립방정식을 풀기 위해서 설계되었다고 볼 수도 있을겁니다.

용어 정리

m행과 n열로 구성된 행렬.

$m$의 행과 $n$의 열을 가지고 잇는 행렬은 $m\times n$ ('m by n 행렬' 혹은 'm 곱하기 n 행렬'이라고 부름) 이라고 쓰며 $m\times n$은 행렬의 크기다. 행은 위에서부터 세고, 열은 왼쪽에서부터 셉니다. 행렬의 크기가 $1\times 1$인 경우 우리는 간단하게 이 행렬을 숫자라고 부르고, 이 경우 괄호가 없어도 괜찮습니다. $m\times n$ 행렬 속 모든 실수 성분의 집합은 $M_{m\times n}(ℝ)$라고 표기합니다. 행렬을 표기할 때는 보통 대문자가 쓰이고, 성분을 표기할 때는 보통 소문자가 쓰입니다. 예를 들어 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$는 denotes an $m\times n$행렬 $A$와 $1\le i\le \underset{\text{행의 개수}}{\underbrace{m}}$, $1\le j\le \underset{\text{열의 개수}}{\underbrace{n}}$인 성분 $a_{ij}$을 표현한 것입니다. (앞으로 행렬의 크기에 대해 이미 말했거나, 크기 자체가 별로 중요하지 않다면 크기에 대한 표기는 안 쓰도록 하겠습니다.)

행렬의 행과 열의 개수가 같은 특별한 경우에 행렬은 좋은 성질들을 가집니다. 이런 종류의 행렬에 대해서 정사각행렬이라고 정의합니다.

틀:색 상자 또, 특정한 상황에서 요긴하게 쓰이는 주대각성분이라는 것에 대해서도 정의할 수 있습니다.

틀:인용문 그리고 우리는 주대각성분에 관련한 정의에 의한 어떤 종류의 행렬을 정의할 수 있습니다.

마지막으로 가끔씩 쓰이는 부분행렬을 정의하겠습니다.

행렬 연산

이 파트에서는 다양한 행렬 연산에 대해 다룰 것입니다. 행렬 곱셈 같은 일부 연산은 기존의 수체계에서의 연산과 많이 다릅니다.

이제, 우리는 기존의 곱셈과는 꽤 다른 행렬의 곱셈을 정의할 것입니다.

행렬 곱셈을 나타낸 그림

틀:색 상자 이와 달리, 정사각행렬의 거듭제곱은 기존의 수 체계와 꽤나 비슷하게 정의됩니다.

그리고 수 체계에서 0에 해당하는 행렬인 영행렬과 1에 해당하는 항등행렬을 논해보겠습니다.

또, 수 체계에서는 존재하지 않는 연산인 전치(transpose)에 대해서 소개하겠습니다.

틀:인용문

이 예시를 표현한 그림.

$5\times 5$ 대칭행렬의 대칭 패턴

틀:증명 전치에서 행과 열이 서로 자리를 바꾸기 때문에 원래행렬과 전치행렬의 크기가 서로 같으려면 정사각행렬인 경우 밖에 없다는 관찰을 통해 알 수 있다.