미분과 적분/부분적분

부분 적분은 곱의 미분법을 활용한 적분 법이다

부정적분의 경우에는 다음과 같다.

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f^{\prime }(x)dx$

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

$\int udv=uv-\int vdu$

여기서, $u=f(x),v=g(x)$이고, $du=f^{\prime }(x)dx,dv=g^{\prime }(x)dx$이다.

두 미분가능한 연속 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대해서, 적분 구간이 $[a,b]$ 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx={[f(x)g(x)]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx$

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

${[f(x)g(x)]}_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a).$