기초 수학/피타고라스 정리와 삼각비/피타고라스 정리

틀:안내 피타고라스 정리 단원에서는 피타고라스 정리를 이해하고 평면에서 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 다룬다.

피타고라스 정리

피타고라스 정리의 증명

오른쪽 그림과 같은 정사각형에서 한 변의 길이는 $a+b$이기 때문에 넓이는 $(a+b{)}^2$이다. 반면, 네 개의 직각삼각형의 넓이의 합은 $\frac{ab}{2}\times 4$이고 가운데 정사각형 부분의 넓이는 $c^2$이므로 이 둘의 합이 정체 정사각형의 넓이라는 점을 이용하여 전체 정사각형 넓이를 계산하면 $\frac{ab}{2}\times 4+c^2$이다. 이를 이용하여 정리하면 아래와 같다.

• $(a+b{)}^2=(\frac{ab}{2}\times 4)+c^2$

$\iff (a+b{)}^2=2ab+c^2$

$\iff a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$

$\iff a^2+b^2=c^2$

위와 같은 직각삼각형에서 $a^2+b^2=c^2$ 이 성립한다. 이를 '피타고라스 정리'라고 한다.

즉, 직각삼각형의 각 변의 길이를 각각 $a,b,c$이 있고 $c$ 를 빗변의 길이라고 할 때 $a^2+b^2=c^2$ 이 성립한다. 이를 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)라고 한다.

두 점 사이의 거리

좌표평면에서 두 점 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$이 있을 때, 점 $P(x_1,y_1)$에서 $x$축에 평행하게 그은 직선과 점 $Q(x_2,y_2)$에서 $y$축에 평행하게 그은 직선이 만나는 점을 $R$이라고 하고, 두 점 $P,Q$ 사이의 거리를 $l$이라고 하자. $\mathrm{△}RPQ$는 $l$을 빗변으로 하는 직각삼각형이고, $\overline{PR}=x_2-x_1$, $\overline{QR}=y_2-y_1$이므로 $l,\overline{PR},\overline{QR}$은 피타고라스 정리에 의해 아래와 같은 관계가 있다.

$\begin{array}{cc}{l}^2& ={\overline{PR}}^2+{\overline{QR}}^2\\ & =(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2\end{array}$

$\iff l=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

따라서 좌표평면에서 두 점 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$가 있을 때 두 점 사이의 거리 $l$은 아래와 같다.

• $l=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

피타고라스 정리의 역

삼각형의 세 변의 길이를 각각 $a,b,c$라고 할 때 이들의 관계가 $a^2+b^2=c^2$이 성립하면 $c$가 빗변인 직각삼각형이다.

$\mathrm{△}ABC$에서 $\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c$일 때 아래와 같은 관계가 있다.

• $\mathrm{\angle }C<90^{\circ }$일 때

  $a^2+b^2>c^2$ (예각삼각형)

• $\mathrm{\angle }C=90^{\circ }$일 때

  $a^2+b^2=c^2$ (직각삼각형)

• $\mathrm{\angle }C>90^{\circ }$일 때

  $a^2+b^2<c^2$ (둔각삼각형)

또한 위의 역도 아래와 같이 성립한다.

• $a^2+b^2>c^2$일 때

  $\mathrm{\angle }C<90^{\circ }$ (예각삼각형)

• $a^2+b^2=c^2$일 때

  $\mathrm{\angle }C=90^{\circ }$ (직각삼각형)

• $a^2+b^2<c^2$일 때

  $\mathrm{\angle }C>90^{\circ }$ (둔각삼각형)

평면도형에의 활용

가로와 세로의 길이가 각각 $a,b$인 직각삼각형에서 대각선 $l$의 관계는 $l$을 빗변으로 하는 직각삼각형이므로 아래와 같은 관계가 있다.

• $l=\sqrt{a^2+b^2}$

한 변의 길이가 $a$이고 높이가 $h$인 정삼각형 $ABC$의 넓이를 $S$, 꼭짓점 $A$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H$라고 하고 피타고라스 정리를 이용하여 그 관계를 정리하면 아래와 같다.

• ${\overline{BH}}^2+{\overline{AH}}^2={\overline{AB}}^2$

  $\iff {\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+h^2=a^2$

  $\iff h^2=a^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=\frac{3}{4}{a}^2$

  $\iff h=\sqrt{\frac{3}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

• $S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\times a\times \frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

두 각의 크기가 $45^{\circ }$인 직각삼각형이 있을 때 세 변 $a,b,c$($c$는 빗변)의 비는 $1:1:\sqrt{2}$이고, 두 각이 각각 $30^{\circ }$, $60^{\circ }$이 있을 때 세 변 $a,b,c$($c$는 빗변, $a<b$)의 비는 $1:\sqrt{3}:2$이다.

입체도형에의 활용

$l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

오른쪽 그림과 같은 직육면체가 있을 때 직육면체의 대각선의 길이에 대해 정리하면 아래와 같다.

• ${\overline{AD}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BD}}^2$

  $\iff {\overline{AD}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2+{\overline{CD}}^2$

  $\iff \overline{AD}=\sqrt{{\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2+{\overline{CD}}^2}$

따라서 가로, 세로, 높이의 길이가 각각 $a,b,c$인 정육면체의 대각선의 길이 $l$은 아래와 같다.

• $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

밑면의 반지름의 길이가 $r$이고 모선의 길이가 $l$인 원뿔이 있을 때 높이 $h$와 부피 $V$에 대해 피타고라스 정리를 활용하여 정리하면 아래와 같다.

• $h^2=r^2-l^2$

  $\iff h=\sqrt{l^2-r^2}$

• $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\sqrt{l^2-r^2}}{3}\pi r^2$

한 변의 길이가 $a$인 정사각형을 밑면으로하고 옆면의 모서리의 길이가 $b$인 정사각뿔의 높이 $h$와 부피 $V$에 대해 피타고라스 정리를 활용하여 정리하면 아래와 같다.

• $h^2=b^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2$

  $\iff h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}$

• $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{b^2-\frac{a^2}{2}}{3}{a}^2$

참고 문헌

• 틀:서적 인용