해석학 개론/음함수의 미분 문서 원본 보기

== 음함수의 미분 ==
음함수는 [[해석학개론/연쇄법칙|연쇄법칙]](Chain rule)을 이용한 미분할 수 있다. 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 미분한 다음, <math>dy/dx</math>를 계산한다. 이 결과는 양함수로 바꾼 후에 통상적인 미분을 시행한 결과와 같지만 계산이 수월하다는 장점이 있다. 그러나 경우에 따라 양함수로 먼저 바꾸는 쪽이 더 쉬운 경우도 있다.

=== 예 1 : 일차함수 ===
다음과 같은 음함수를 미분하려고 한다.
:<math>y + 2x = -4</math>
이를 양함수로 바꾸어 미분하면 다음과 같다.
:<math>\frac{dy}{dx} = -2</math>
이번에는 주어진 음함수에 대해 그대로 양변을 미분해보자. 
:<math>\frac{dy}{dx} + \frac{d(2x)}{dx} = \frac{d(-4)}{dx}</math>
간단한 미적분학의 지식을 통해 다음과 같이 됨을 알 수 있다.
:<math>\frac{dy}{dx} + 2 = 0</math>
그리하여 양함수를 미분했을 때와 동일한 결과를 얻게 된다.

=== 예 2 : 원의 방정식 ===
단위원의 방정식이 주어져 있다.
:<math>x^2 + y^2 = 1</math>
양변을 미분하여 다음을 얻는다.
:<math>2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0</math>
<math>y^2</math>을 미분할 때 연쇄법칙(Chain rule)을 이용하였다. 또는 합성함수의 미분이라고 생각해도 좋다.
그래서 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
:<math>\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}</math>

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