해석학 개론/연쇄법칙 문서 원본 보기

'''연쇄 법칙'''은 두 함수를 합성한 합성 함수의 도함수에 관한 공식이다.

:<math> (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)</math>

라이프니츠 표기를 쓰면 다음과 같다.
:<math>\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}</math>

연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 [[해석학개론/치환적분|치환적분]]이라 한다.

== 다변수 함수에 대한 연쇄법칙 ==
'''a''' &isin; '''R'''<sup>n</sup>, ''g'' : '''R'''<sup>n</sup> &rarr; '''R'''<sup>m</sup>, ''f'' : '''R'''<sup>m</sup> &rarr; '''R'''<sup>p</sup>라 하자. 만약 ''g''가 '''a'''에서 미분가능하고, ''f''가 ''g''('''a''')에서 미분가능하다면 ''f''∘''g''는 '''a'''에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.
:<math>D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})</math>
합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. ''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>n</sub>) : '''R'''<sup>n</sup> &rarr; '''R'''<sup>m</sup> , ''f''(''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>,…,  ''u''<sub>m</sub>) : '''R'''<sup>m</sup> &rarr; '''R''' 가 '''a'''에서 미분가능하다고 하면 ''Df''는 &nabla;''f''가 되고 함수 ''z'' = ''f''∘''g''= ''f''(''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>n</sub>))는 미분가능하고 미분은
:<math>Dz(a) = D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a}) = \nabla f(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})</math>
편미분은
:<math>\frac{\partial z}{\partial x_j} 
= \sum_{i=1}^m {\partial f \over \partial u_i} {\partial u_i \over \partial x_j}
= {\partial f \over \partial u_1} {\partial u_1 \over \partial x_j} 
+ {\partial f \over \partial u_2} {\partial u_2 \over \partial x_j}
+ \cdots
+ {\partial f \over \partial u_m} {\partial u_m \over \partial x_j}</math>
이다.
== 증명 ==
연쇄법칙은 g(x)가 k 부근에서 g(k)와 다른 값을 가지는 경우 당연하게 증명된다. 하지만, 실제로는 g(k)와 g(x)가 같은 값을 가질 수 있고, f(g(x))가 미분 가능하다는 것도 증명이 필요한 사실이다. 

{{돌아가기|[[해석학 개론]]}}

[[분류:해석학 개론|연쇄법칙]]