해석학 개론/부분적분 문서 원본 보기

'''부분 적분'''은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 [[해석학개론/곱셈법칙]]에서 유도할 수 있다.

== 법칙 ==
두 미분가능한 연속 함수 <math>f(x)</math>와 <math>g(x)</math>에 대해서, 적분 구간이 <math>[a, b]</math> 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx</math>

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.
:<math>\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).</math>

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다. 
:{|
|-
|<math> f(b)g(b) - f(a)g(a)\, </math>
|<math>= \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx </math>
|-
|
|<math>=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx </math> 
|}

부정적분의 경우에는 다음과 같다.
:<math>\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx</math>

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.
:<math>\int u\,dv = u v - \int v\,du</math>

여기서, <math>u = f(x),\ v = g(x)</math>이고, <math>du = f'(x) dx,\ dv = g'(x) dx</math>이다.

== 예제 ==
=== x cos x의 적분 ===
다음 식을 적분한다.
:<math>\int x\cos x \,dx</math>

이때, <math>u = x,\ du = dx,\ dv = \cos x \, dx,\  v = \sin x</math>와 같이 가정하면

:{|
|-
|<math>\int x\cos x \,dx </math>
|<math>= \int u \,dv </math>
|-
|
|<math>= uv - \int v \,du</math>

|}
가 되어,
:<math>\int x\cos x \,dx = x\sin x - \int \sin x \,dx</math>
:<math>\int x\cos x \,dx = x\sin x + \cos x + C</math>
와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, <math>C</math>는 적분 상수이다.

=== e<sup>x</sup> cos x 의 적분 ===
:<math>\int e^{x} \cos x \,dx</math>

이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.
:<math>u = \cos x, du = -\sin x \, dx</math>
:<math>dv = e^x dx,\ v = e^x</math>

이때,
:<math>\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin x \,dx</math>
이고,
우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.
:<math>u = \sin x\;;\ du = \cos x \, dx</math>
:<math>v = e^x\;;\ dv = e^x dx</math>

그러면,
:{|
|-
|<math>\int e^{x} \sin x \,dx </math>
|<math>= e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx </math>
|-
|}
이므로, 함께 적으면,
:<math>\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + e^x \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx</math>
임을 알 수 있다.

자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,
:<math>2 \int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} ( \sin x + \cos x )</math>
이고, 2로 나눠
:<math>\int e^{x} \cos x \,dx = {e^{x} ( \sin x + \cos x ) \over 2}</math>
와 같은 결과를 얻을 수 있다.

=== ln x 의 적분 ===
또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 <math>x</math>를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는, <math>\int \ln x \,dx</math> 이다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\int (\ln x) \cdot 1 \,dx</math>

다음과 같이 가정하면,
:<math>u = \ln x\;;\ du = \frac 1 x dx</math>
:<math>v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx</math>

:{|
|-
|<math>\int \ln x \,dx </math>
|<math>= x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx </math>
|-
|
|<math>= x \ln x - \int 1 \,dx</math>
|}
:<math>\int \ln x \,dx = x \ln x - {x} + {C}</math>

:<math>\int \ln x \,dx = x ( \ln x - 1 ) + C</math> 
이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.

=== arctan x의 적분 ===
두 번째 예는 <math>\int \arctan x \,dx</math>이다. 여기서 <math>\arctan</math> 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:<math>\int 1 \cdot \arctan x \,dx</math>

다음과 같이 가정하면,

:<math>u = \arctan x\;;\ du = \frac 1 {1+x^2} dx</math>
:<math>v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx</math>

:{|
|-
|<math>\int \arctan x \,dx </math>
|<math>= x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx </math>
|-
|
|<math>= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C</math>
|}
임을 확인 할 수 있다.

== 문제 해결의 전략 ==
부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적(heuristic)에 가깝다. 그러므로 적분을 하려는 두 함수 중 어떤 것을 <math>u</math>와 <math>dv</math>에 각각 대입할지를 선택하는 것이 중요하다. 이를 선택할 때 유용한 방법이 LIATE 법칙이다. 아래의 순서에서 먼저 일치하는 함수를 <math>u</math>에 대입한다.

:'''L''': 로그 함수 (Logarithmic)
:'''I''': 역 삼각함수 (Inverse trigonometric)
:'''A''': 대수적 함수 (Algebraic)
:'''T''': 삼각 함수 (Trigonometric)
:'''E''': 지수 함수 (Exponential)

<math>u</math>를 대입한 후 남은 함수는 <math>dv</math>에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.

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