해석학 개론/곱셈법칙 문서 원본 보기

'''곱셈 법칙'''은 두 함수의 곱을 미분하는 법칙이다. 두 함수를 <math>f</math>, <math>g</math>라고 했을 때 두 함수를 곱한 <math>fg</math>를 미분한 결과는
:<math>(fg)'=f'g+fg'</math>
가 된다.

== 증명 ==

함수 f를 <math>f(x) = g(x)h(x)</math>로 정의한다. 이때 <math>f'(x)</math>를 [[도함수]]의 정의에 따라 구하면,

:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \left(g(x)\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} + h(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)</math>

여기에서 <math>h(x)</math>는 <math>x</math>에 대해 [[연속]]이므로, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)</math>

따라서 다음의 결과가 나온다.
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\right]</math>
:<math>= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right]</math>
:<math>= g(x)h'(x) + h(x)g'(x)</math>



== 일반화 ==

세 함수의 곱을 미분하는 경우에도 같은 방법을 사용하여 구할 수 있다.
:<math>(fgh)' = (f(gh))' = f'(gh) + f(gh)' = f'gh + fg'h + fgh'</math>
이를 일반화하면, <math>f_1</math>부터 <math>f_n</math>까지의 함수를 곱한 함수의 도함수는 다음과 같다.
:<math>\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x)
 = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)} \prod_{i=1}^k f_i(x) \right)</math>

==응용 ==
곱셈 법칙의 결과를 이용하면, :<math>fg=\int_{}{} (f'g+fg')dx</math>이다. 이를 이용한 적분법을 치환적분이라고 한다

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