선형대수학 입문/행렬 문서 원본 보기

== 모티베이션 ==
행렬을 이용하는 가장 중요한 이유 중 하나는 선형 연립방정식을 풀기 위한 것입니다. 몇몇 정의를 따라가다보면 아예 선형 연립방정식을 풀기 위해서 설계되었다고 볼 수도 있을겁니다.

== 용어 정리 ==
[[파일:Matris.png|섬네일|''m''행과 ''n''열로 구성된 행렬.]]

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 1. 행렬|

행렬은 숫자들의 직사각형 배열이다. 수직 단위를 ''행''(行)이라 하고, 수평단위들을 ''열''(列)이라 한다. 

행렬 속 성분은 좌표로 나타낼 수 있으며 <math>\color{blue}i</math>번째 행, <math>\color{red}j</math>번째 열에 있는 요소는 행렬의 <math>({\color{blue}i},{\color{red}j})</math>번째 성분이라고 한다.}}

<math>m</math>의 행과 <math>n</math>의 열을 가지고 잇는 행렬은 <math>m\times n</math> ('m by n 행렬' 혹은 'm 곱하기 n 행렬'이라고 부름) 이라고 쓰며 <math>m\times n</math>은 행렬의 크기다. 행은 위에서부터 세고, 열은 왼쪽에서부터 셉니다.
행렬의 크기가 <math>1\times 1</math>인 경우 우리는 간단하게 이 행렬을 숫자라고 부르고, 이 경우 괄호가 없어도 괜찮습니다.
<math>m\times n</math> 행렬 속 모든 실수 성분의 집합은 <math>M_{m\times n}(\mathbb R)</math>라고 표기합니다. 
행렬을 표기할 때는 보통 대문자가 쓰이고, 성분을 표기할 때는 보통 소문자가 쓰입니다. 
예를 들어 <math>A=(a_{ij})_{m\times n}</math>는 denotes an <math>m\times n</math>행렬 <math>A</math>와 <math>1\le i\le\underbrace{m}_{\text{행의 개수}}</math>, <math>1\le j\le \underbrace{n}_{\text{열의 개수}}</math>인 성분 <math>a_{ij}</math>을 표현한 것입니다. 
(앞으로 행렬의 크기에 대해 이미 말했거나, 크기 자체가 별로 중요하지 않다면 크기에 대한 표기는 안 쓰도록 하겠습니다.)

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 2. 동일한 행렬|

두 행렬 <math>A=(a_{ij})_{m\times n}</math>와 <math>B=(b_{ij})_{k\times \ell}</math>는 다음 조건을 만족하면 같다. 
# <math>m=k</math>,
# <math>n=\ell</math>,
# 각각의 <math>(i,j)</math>에 대하여 <math>a_{ij}=b_{ij}</math>. 
 <math>A</math>와 <math>B</math>가 같다면 <math>A=B</math>로 쓴다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 다시 말해서, 두 행렬이 같은 크기와 같은 성분을 지니고 있다면 두 행렬은 같다. 
* <math>A</math>와 <math>B</math>가 같지 않다면, <math>A\ne B</math>라고 쓴다. 
}}
{{예제|
Consider the following three matrices <math>A,B</math> and <math>C</math>.
<math display=block>
A=(a_{ij})_{m\times n}=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6
\end{pmatrix},\quad
B=(b_{ij})_{k\times \ell}=\begin{pmatrix}
1&4\\
2&5\\
3&6
\end{pmatrix}\;\text{and}\quad
C=(c_{ij})_{p\times q}=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6
\end{pmatrix}
</math>
<quiz display=simple>
{ Choose correct statement(s) from the following statements. 
|type="[]"}
- <math>A=B</math> 
|| Their sizes are different.
+ <math>A=C</math> 
|| They have same entries and size.
- <math>B=C</math> 
|| Their sizes are different.
- <math>A=B=C</math> 
|| Their sizes are different.
+ <math>A\ne B\ne C</math> 
|| <math>A\ne B</math> is correct, since <math>A</math> and <math>B</math> have different size.
|| <math>B\ne C</math> is also correct, since <math>B</math> and <math>C</math> have different size.
|| This statement does {{colored em|not}} imply that {{colored em|all}} three matrices are different. '<math>\ne</math>' is {{colored em|not}} [[w:transitive relation|transitive]].

{ Choose correct statement(s) from the following statements. 
|type="[]"}
+ <math>a_{12}=2</math> 
|| The entry at 1st row and 2nd column is <math>2</math>.
- <math>b_{23}=6</math> 
|| There does not exist 3rd column for matrix <math>B</math>. So, <math>b_{23}</math> is undefined.
- <math>a_{31}=c_{31}=3</math> 
|| There does not exist 3rd row for matrices <math>A</math> and <math>C</math>. So, <math>a_{31}</math> and <math>c_{31}</math> are undefined.
+ <math>a_{ij}=b_{ji}</math> for each pair <math>(i,j)</math> 
|| You can check this equality pair by pair.
|| This equality holds for matrix and its {{colored em|transpose}}, (we will define it later)
|| and matrix <math>B</math> is actually {{colored em|transpose}} of matrix <math>A</math>, vice versa.

{ Choose correct statement(s) from the following statements.
|type="[]"}
+ <math>m=p=2</math> 
|| Both matrices <math>A</math> and <math>C</math> have two rows.
- <math>n=k=2</math> 
|| Matrix <math>A</math> has three columns, so <math>n=3</math>. (Also, <math>k=3</math>.)
- <math>m=\ell=3</math> 
|| Matrix <math>A</math> has two rows, so <math>m=3</math>. (Also, <math>\ell=2</math>.)
- <math>p=q=2</math> 
|| Matrix <math>C</math> has three columns, so <math>q=3</math>. 
</quiz>}}
{{예제|
Let <math>A=(a_{ij})</math> be a <math>3\times 2</math> matrix in which each entry <math>a_{ij}=i+2j</math>.
Write down <math>A</math> in the form of an array of numbers.
}}
{{숨김|(a11 a12 )
(a21 a22)
(a31 a32)|
<math> 
A=
\begin{pmatrix}
3&5\\
4&6\\
5&7
\end{pmatrix}.
</math>}}

행렬의 행과 열의 개수가 같은 특별한 경우에 행렬은 좋은 성질들을 가집니다. 이런 종류의 행렬에 대해서 정사각행렬이라고 정의합니다. 


{{색 상자|#DD2244|정의 1. 3. 정사각행렬|

정사각행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬이다.
}}
또, 특정한 상황에서 요긴하게 쓰이는 주대각성분이라는 것에 대해서도 정의할 수 있습니다.

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 4. 주대각성분|

<math>n\times n</math>행렬(정사각행렬)의 주대각성분은 <math>(1,1)</math>, <math>(2,2)</math>, <math>\ldots</math>, <math>(n,n)</math> 성분들을 말한다. 
}}
{{인용문|
'''예시'''

행렬
<math>I_3=\begin{pmatrix}
{\color{green}1}&0&0\\
0&{\color{green}1}&0\\
0&0&{\color{green}1}
\end{pmatrix}</math> 
의 주대각 성분은 <math>1,1</math> 그리고 <math>1</math>이다.
}}

{{인용문|
'''참고'''

예제의 <math>I_3</math>행렬은 항등행렬이다.(추후에 정의할 것이다)
}}
그리고 우리는 주대각성분에 관련한 정의에 의한 어떤 종류의 행렬을 정의할 수 있습니다.

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 5. 삼각행렬|

삼각행렬은 위삼각행렬이거나 아래삼각행렬이다.(포괄적)

위삼각행렬은 주대각성분의 아래쪽이 전부 <math>0</math>인 정사각행렬이다.

아래삼각행렬은 주대각성분의 위쪽이 전부 <math>0</math>인 정사각행렬이다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 동등하게 그리고 상징적으로, 행렬<math>A=(a_{ij})</math>에 대해서 <math>i>j</math>일 때 <math>a_{ij}=0</math>이면  위삼각행렬이고, <math>i<j</math>일 때 <math>a_{ij}=0</math>이면 아래삼각행렬이다.
* 이 삼각행렬들의 형태는 다음과 같다.
<math>
\underbrace{\begin{pmatrix}
*&*&*&\cdots&*\\
0&*&*&\cdots&*\\
0&0&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&*\\
0&0&\cdots&0&*
\end{pmatrix}}_{\text{위삼각행렬}}\quad\text{and}\quad
\underbrace{\begin{pmatrix}
*&0&\cdots&0&0\\
*&*&0&\cdots&0\\
*&*&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\
*&*&\cdots&*&*
  \end{pmatrix}}_{\text{아래삼각행렬}}
</math>
여기서 <math>*</math> 임의의 성분이다.(0이건 아니건 상관없다.)

}}

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 6. 대각행렬|

대각행렬은 정사각행렬이면서 주대각성분이 아닌 모든 성분이 <math>0</math>인 행렬이다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

* 대각행렬은 위삼각행렬이자 아래삼각행렬이다.
* 대각행렬의 형태는 다음과 같이 나타난다.
<math>\begin{pmatrix}
*&0&0&\cdots&0\\
0&*&0&\cdots&0\\
0&0&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\
0&0&0&\cdots&*
\end{pmatrix}
</math>
<math>*</math>는 임의의 성분이다.
}}
{{예제|
<quiz display="simple">
{ Choose all correct statement(s) from the following statements.
|type="[]"}
- A matrix whose every entry is <math>0</math> is diagonal matrix.
|| This matrix may not be square matrix. (If it is square matrix, then this is correct.)
|| This matrix is {{colored em|zero matrix}}.
- A matrix whose every entry is <math>0</math> is triangular matrix.
|| This matrix may not be square matrix. (If it is square matrix, then this is correct.)
+ A diagonal matrix is triangular matrix.
|| Since a diagonal matrix is both upper triangular and lower triangular, it is triangular by definition.
- A triangular matrix is diagonal matrix.
|| Upper triangular (Lower triangular) matrix that is not lower triangular (upper triangular) may {{colored em|not}} be diagonal matrix.
|| Counter-example: <math>\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}</math> is upper triangular matrix, but not diagonal matrix.
+ A diagonal matrix is the {{colored em|only}} type of matrix that is {{colored em|both}} upper triangular and lower triangular.
|| Entries not lying on the main diagonal are either above or below the main diagonal. Since for a diagonal matrix, each entry not lying on the main diagonal is <math>0</math>, 
|| each entry above the main diagonal is <math>0</math> and each entry below the main diagonal is <math>0</math>, which matches with the definition of lower triangular matrix and upper triangular matrix respectively. 
|| Also, a diagonal matrix is a square matrix, so it satisfies the requirement for the matrix to be a square matrix in the definition of an upper triangular matrix and a lower triangular matrix.

{ Choose all upper triangular matrices from the following matrices.
|type="[]"}
+ <math>\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}</math> 
|| This is upper triangular matrix that is not lower triangular.
- <math>\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}</math> 
|| This is lower triangular matrix that is not upper triangular.
- <math>\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}</math> 
|| This is neither triangular matrix, nor diagonal matrix.
+ <math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}</math> 
|| This is diagonal matrix, upper triangular, and lower triangular matrix.
- <math>\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}</math> 
|| This is not square matrix.

{ Choose all lower triangular matrices from the following matrices.
|type="[]"}
- <math>\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}</math> 
|| This is upper triangular matrix that is not lower triangular.
+ <math>\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}</math> 
|| This is lower triangular matrix that is not upper triangular.
- <math>\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}</math> 
|| This is neither triangular matrix, nor diagonal matrix.
+ <math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}</math> 
|| This is diagonal matrix, upper triangular, and lower triangular matrix.
- <math>\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}</math> 
|| This is not square matrix.

{ Choose all triangular matrices from the following matrices.
|type="[]"}
+ <math>\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}</math> 
|| This is upper triangular matrix that is not lower triangular.
+ <math>\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}</math> 
|| This is lower triangular matrix that is not upper triangular.
- <math>\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}</math> 
|| This is neither triangular matrix, nor diagonal matrix.
+ <math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}</math> 
|| This is diagonal matrix, upper triangular, and lower triangular matrix.
- <math>\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}</math> 
|| This is not square matrix.

{ Choose all diagonal matrices from the following matrices.
|type="[]"}
- <math>\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}</math> 
|| This is upper triangular matrix that is not lower triangular.
- <math>\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}</math> 
|| This is lower triangular matrix that is not upper triangular.
- <math>\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}</math> 
|| This is neither triangular matrix, nor diagonal matrix.
+ <math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}</math> 
|| This is diagonal matrix, upper triangular, and lower triangular matrix.
- <math>\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}</math> 
|| This is not square matrix.
</quiz>
}}

마지막으로 가끔씩 쓰이는 부분행렬을 정의하겠습니다.

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 7. 부분행렬|

<math>A</math>를 행렬이라 하자. <math>A</math>의 부분행렬은 <math>A</math>의 몇몇 행이나 열을 잘라내서 얻어낸 행렬이다.(포괄적).
}}
{{인용문|
'''참고'''

관습적으로 모든 행렬은 자신의 부분행렬이다.
}}
{{예제|
<quiz display=simple>
 Choose all submatrices of <math>\begin{pmatrix}3&5&7\\4&6&8\\5&7&9\end{pmatrix}</math> from the following matrices.
|type="[]"}
+ <math>\begin{pmatrix}3&5&7\end{pmatrix}</math> 
|| It can be obtained by removing 2nd and 3rd row of the matrix.
- <math>\begin{pmatrix}3&4&5\end{pmatrix}</math> 
|| It cannot be obtained by removing some rows or columns of the matrix.
+ <math>\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}</math> 
|| It can be obtained by removing 2nd and 3rd column of the matrix.
- 2
|| It cannot be obtained by removing some rows or columns of the matrix. (It is not an entry of the matrix.)
+ 7
|| It can be obtained by removing 1st and 2nd column, and 2nd and 3rd row of the matrix. (Recall that <math>1\times 1</math> matrix is number.)
|| Alternatively, it can also be obtained by removing 1st and 2nd row, and 1st and 3rd column of the matrix.
+ <math>\begin{pmatrix}3&7\\5&9\end{pmatrix}</math> 
|| It can be obtained by removing 2nd row and 2nd column of the matrix.
</quiz>}}

==행렬 연산==
이 파트에서는 다양한 행렬 연산에 대해 다룰 것입니다. 행렬 곱셈 같은 일부 연산은 기존의 수체계에서의 연산과 많이 다릅니다.

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 8. 행렬의 덧셈과 뺄셈|

<math>A=(a_{ij})_{m\times n}</math>와 <math>B=(b_{ij})_{m\times n}</math>를 같은 크기를 가지는 행렬이라고 하자. 
우리는 행렬 덧셈과 뺄셈을
<math display=block>
A\pm B=(a_{ij}\pm b_{ij})_{m\times n}.
</math>
로 정의한다.
}}

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 9. 행렬의 스칼라곱|

행렬 <math>A=(a_{ij})_{m\times n}</math>를 생각하자. 우리는 행렬의 스칼라곱을
<math display=block>
cA=(ca_{ij})_{m\times n}.
</math>
로 정의한다.
}}

이제, 우리는 기존의 곱셈과는 꽤 다른 행렬의 곱셈을 정의할 것입니다.
 
[[파일:MatrixMultiplication.png|thumb|행렬 곱셈을 나타낸 그림]]
{{색 상자|#DD2244|정의 1. 10. 행렬의 곱셈|

<math>A=(a_{ij})_{{\color{blue}m}\times {\color{green}n}}</math>와 <math>B=(b_{ij})_{{\color{green}n}\times {\color{red}\ell}}</math>를 행렬이라 하자. 
<math>A</math> 와 <math>B</math>의 행렬곱 <math>AB</math>은 
<math>{\color{blue}m}\times{\color{red}\ell}</math> 행렬이고, <math>({\color{purple}i},{\color{brown}j})</math>번째 성분은 
<math display=block>
\sum_{k=1}^{n}(a_{{\color{purple}i}k}b_{k{\color{brown}j}})=a_{{\color{purple}i}1}b_{1{\color{brown}j}}+a_{{\color{purple}i}2}b_{2{\color{brown}j}}+\cdots+a_{{\color{purple}i}n}b_{n{\color{brown}j}}
</math>
가 된다. <math>A</math>의 열의 수(<math>\color{blue}m</math>)와 <math>B</math>의 행의 수 (<math>\color{red}\ell</math>)가 다르면 행렬 곱셈은 정의되지 않는다.
}}
이와 달리, 정사각행렬의 거듭제곱은 기존의 수 체계와 꽤나 비슷하게 정의됩니다.

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 11. 정사각행렬의 거듭제곱|

<math>A</math>를 정사각행렬이라 하자. <math>p</math>가 양수인 <math>A</math>의 <math>p</math>번 거듭제곱(<math>A^p</math>로 표현)은 <math>A</math>를 <math>p</math>번 곱한 것과 같다. 예를 들어,
<math display=block>
A^p=\underbrace{AA\cdots A.}_{\text{A의 p번 곱}}
</math>
}}

{{예제|
<quiz display=simple>
{Choose all correct statement(s) from the following statements.
|type="[]"}
+ <math>\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22&28\\49&64\end{pmatrix}</math>. 
|| e.g., <math>49=4(1)+5(3)+6(5)</math>.
- <math>\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22&28\\49&64\end{pmatrix}</math> 
|| The size of leftmost matrix is <math>3\times 2</math>, and the size of middle matrix is <math>2\times 3</math>, so the size of the rightmost matrix should be <math>3\times 3</math> instead. 
||  The correct rightmost matrix is <math>\begin{pmatrix}9&2&15\\19&26&33\\29&40&51\end{pmatrix}</math>. 
- <math>(a_{ij})_{n\times n}^2=(a_{ij}^2)_{n\times n}</math>. 
|| This is not how matrix multiplication is defined, and is incorrect in general.
- <math>A+B=B+A</math> for each matrix <math>A</math> and <math>B</math>.
|| If <math>A</math> and <math>B</math> do not have same size, then both <math>A+B</math> and <math>B+A</math> are undefined, and are not matrices.
|| Thus, they cannot be said to be 'equal'.
- <math>((ij)a_{ij})_{m\times n}=ij(a_{ij})_{m\times n}</math>.
|| In the definition of scalar multiplication of matrix, {{colored em|same}} scalar is multiplied to each entry, 
|| while in this case, {{colored em|different}} scalar is multiplied to each entry.
|| Also, the <math>i</math><math>j</math> taken out of the brackets are just two letters that have no specific meanings.
</quiz>
}}

그리고 수 체계에서 0에 해당하는 행렬인 영행렬과 1에 해당하는 항등행렬을 논해보겠습니다.

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 12. 영행렬|

영행렬은 모든 성분이 <math>0</math>인 <math>m\times n</math>행렬로, <math>O_{m\times n}</math>나 달리 해석될 여지가 없다면 <math>O</math>으로 표기한다.
}}
{{인용문|
'''참고'''

영행렬은 수 체계에서의 숫자 <math>0</math>과 유사하다. 영행렬은 행렬 연산에서 다음과 같은 역할을 한다.
# 어떤 행렬 <math>A</math>이든 <math>O+A=A+O=A</math>을 만족하는 크기가 같은 영행렬을 가질 수 있다.
# 곱셈이 잘 정의되어 있다면 모든 행렬 <math>A</math>에 대해서 <math>OA=AO=O</math>를 가질 수 있다.
}}

{{색 상자|#DD2244|정의 13. 항등행렬|

<math>n\times n</math> 항등행렬은 모든 주대각성분이 <math>{\color{green}1}</math>인 <math>n\times n</math> 행렬이다. <math>I_n</math>나 달리 해석될 여지가 없을 때 <math>I</math>이라고 표현한다. 
}}
{{인용문|
'''참고'''

항등행렬은 수 체계에서의 숫자 <math>1</math>과 비슷하다. 행렬 <math>A</math>에 대해 곱셈이 잘 정의되어 있을 때 <math>AI=IA=A</math>이다. }}
{{인용문|
'''예시'''

* 영행렬 <math>O_{2\times 1}</math>은 <math>\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}</math> 
* 항등행렬 <math>I_2</math>은 <math>\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}</math> 
}}
{{인용문|
'''성질(행렬 연산의 성질)'''

<math>A, B, C</math>를 연산이 잘 정의된 행렬이라고 하자. 그리고 스칼라 <math>c</math>가 주어져 있다고 하자. 이 행렬들은 다음 성질을 따른다.

(i) (행렬 곱셈의 결합법칙) <math>(AB)C=A(BC)</math>. 

(ii) (숫자 0과 1의 역할) <math>AO=O,\,OB=O,\,AI=A,\,IB=B</math> 

(iii) (행렬 곱셈의 분배법칙) <math>\underbrace{A(B+C)=AB+AC}_{\text{왼쪽 분배법칙}},\, \underbrace{(A+B)C=AC+BC}_{\text{오른쪽 분배법칙}}</math> 

(iv) <math>c(AB)=(cA)B=A(cB)</math>. 
}}
{{인용문|
'''참고'''

행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 일반적으로 행렬곱 <math>AB</math>과 행렬곱 <math>BA</math>은 다르다. 
}}

또, 수 체계에서는 존재하지 않는 연산인 전치(transpose)에 대해서 소개하겠습니다. 

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 14. 행렬의 전치|

행렬 <math>A=(a_{{\color{purple}i}{\color{green}j}})_{{\color{blue}m}\times {\color{red}n}}</math>을 생각하자. 행렬 <math>A</math>의 전치는 행렬 
<math display=block>
A^T=(a_{{\color{green}j}{\color{purple}i}})_{{\color{red}n}\times {\color{blue}m}}
</math>
이고, 이를 전치행렬이라고 한다.
}}


{{인용문|
'''참고'''

정의를 따라서 <math>1\times 1</math> 행렬의 전치는 더 말할 필요 없이 자기 자신이다.
}}
[[파일:Matrix transpose.gif|thumb|이 예시를 표현한 그림.]]
{{인용문|
'''예시'''

<math>\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}</math>인 행렬 <math>A</math>를 생각하자. 그러면
<math display=block>
A^T=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad
\left(A^T\right)^T=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}=A.
</math>
이다.
}}
{{인용문|
'''성질(전치행렬의 성질)'''
연산이 잘 정의된 행렬 <math>A</math>와 <math>B</math>를 생각하자.
그러면, 다음을 따른다.

(i) (자기반전성 혹은 가역성) <math>(A^T)^T=A</math> 

(ii) (선형성) 모든 ''실수'' <math>a</math>, <math>b</math>에 대해서 <math>(aA+bB)^T=aA^T+bB^T.</math> 

(iii) <math>\color{green}(AB)^T=B^TA^T</math> 
}}

[[파일:Matrix symmetry qtl1.svg|thumb|<math>5\times 5</math> 대칭행렬의 대칭 패턴]]
{{색 상자|#DD2244|정의 1. 15. 대칭행렬|

행렬 <math>A</math>가
<math display=block>
A^T=A.
</math>
일 때 <math>A</math>를 대칭행렬이라고 한다.
}}

{{색 상자|#DD2244|정의 1. 16. 반대칭행렬|

행렬 <math>A</math>가
<math display=block>
A^T={\color{green}-}A.
</math>
일 때 <math>A</math>를 반대칭행렬이라고 한다.
}}
{{인용문|
'''성질(대칭행렬과 반대칭행렬의 필요조건)'''

대칭과 반대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다.
}}

{{증명}}
전치에서 행과 열이 서로 자리를 바꾸기 때문에 원래행렬과 전치행렬의 크기가 서로 같으려면 정사각행렬인 경우 밖에 없다는 관찰을 통해 알 수 있다.

{{증명 끝}}
{{인용문|
'''참고'''

그렇다고 이것은 모든 정사각행렬이 대칭행렬이거나 반대칭행렬이라는 뜻은 아니다.
행렬이 정사각행렬이어야 한다는 것은 대칭행렬과 반대칭행렬의 필요조건이지, 충분조건이 아니다.
}}
{{인용문|
'''예시'''

<math>\begin{pmatrix}1&{\color{blue}2}&{\color{red}3}\\{\color{blue}2}&8&{\color{green}4}\\{\color{red}3}&{\color{green}4}&5\end{pmatrix}</math>
은 대칭행렬, 
<math>\begin{pmatrix}0&{\color{blue}2}&-{\color{red}3}\\-{\color{blue}2}&0&-{\color{green}4}\\{\color{red}3}&{\color{green}4}&0\end{pmatrix}</math>
은 반대칭행렬이고, 이 반대칭행렬의 전치는 
<math>\begin{pmatrix}0&-{\color{blue}2}&{\color{red}3}\\{\color{blue}2}&0&{\color{green}4}\\-{\color{red}3}&-{\color{green}4}&0\end{pmatrix}</math>
이다. 반대칭행렬에서 모든 주대각성분은 0이어야 한다. 
}}


[[분류:선형대수학 입문|행렬]]