상대성 이론/일반 상대성 이론 II/해밀토니안(Hamiltonian) 해석/아인슈타인-힐버트(Hilbert) 작용 문서 원본 보기

==아인슈타인 이론의 작용 원리 (Action Principle of Einstein Theory)==
=== 힐버트-아인슈타인 작용 (Hilbert-Einstein Action) ===
다른 장이론과 마찬가지로 중력이론 또한 좌표를 인수(parameter)로 하는 메트릭 장 변수로 기술되는 장이론이므로 작용으로 이론을 기술할 수 있을 것이다.
여기서 기본 변수는 <math>g_{\mu\nu}(x^\sigma)</math>가 되어야 하나, 그 역인 <math>g^{\mu\nu}</math> 또한 온전히 자신 <math>g_{\mu\nu}</math>으로 기술되므로, 변분에 있어서 <math>\delta g_{\mu\nu}</math>와 <math>\delta g^{\mu\nu}</math>, 두 가지에 대항하는 항 모두가 같이 섞여나와도 상관없다.

우선은 힐버트-아인슈타인 항 <math>\int \sqrt{|g|} R</math>의 변분의 체적항이 아인슈타인 방정식이 됨을 보이려 한다. 이를 위해 우선 다음과 같은 작은 정리들을 증명하도록 하자.
*<math>\delta \sqrt{|g|} = -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\sqrt{|g|}</math>
*<math>\delta R_{\mu\nu}</math>는 체적항(bulk term)이 없고 경계항(boundary term)만 있다.
여기서 <math>\delta g^{\mu\nu}</math>는 <math> g^{\mu\nu}</math>의 변화로 다른 텐서와는 다르게 메트릭의 성질에 따라 <math> \delta g^{\mu\nu}= -g^{\mu\sigma}g^{\nu\lambda}\delta g_{\sigma\lambda}</math>이므로 주의하도록 하자. 첫번째 소정리는 행렬의 성질 <math>\mathrm{det}\,M = \mathrm{exp}\,\mathrm{tr}\, \mathrm{log}\,M</math>을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

두번째 소정리를 보이기 위해서 첨자(index)를 풀어헤치면 다음과 같이 된다.
<math>\delta R^\sigma{}_{\mu\sigma\nu} = \nabla_\sigma \delta \Gamma^\sigma{}_{\nu\mu} - \nabla_\nu \delta \Gamma^\sigma{}_{\sigma\mu} = \frac{1}{2}\nabla_\sigma\nabla_\nu (g^{\sigma\lambda}\delta g_{\lambda\mu})+\frac{1}{2}\nabla_\sigma\nabla_\mu (g^{\sigma\lambda}\delta g_{\lambda\nu})-\frac{1}{2}\nabla_\sigma \nabla^\sigma \delta g_{\mu\nu} -\frac{1}{2}\nabla_\nu\nabla_\mu (g^{\sigma\lambda}\delta g_{\sigma\lambda})</math>
<br/>이러한 결과를 보기 위하여 다음과 같이 곡률 텐서 뿐 아니라 텐서가 아닌 연결(connection)의 경우도 변분을 취하면 텐서가 됨을 보일 필요가 있다.
*<math>\delta R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta} = \nabla_\gamma \delta\Gamma^\alpha{}_{\delta\beta}-\nabla_\delta \delta\Gamma^\alpha{}_{\gamma\beta}</math>
*<math>\delta \Gamma^\sigma{}_{\beta\gamma}= \frac{1}{2}g^{\alpha\sigma}\left(\nabla_\beta\delta g_{\gamma \alpha} + \nabla_\gamma\delta g_{\alpha \beta} - \nabla_\alpha\delta g_{\beta \gamma} \right)</math>

이 작용은 국소 로렌츠변환에 대해서 명백히 불변이다. 광역 로렌츠대칭에 대해서는 경계면의 문제가 있으므로 말하기 어렵다. (경계면이 대칭을 가지고 있다면 보통 광역대칭이 국소대칭보다 약한 조건이다.)

=== 기본스-호킹-요크 경계항 (Gibbons-Hawking-York Boundary Term)===
보통 작용원리는 디리클레 경계조건에서 올바른 운동방정식을 주기를 요구한다.

[[분류:상대성이론]]