미분과 적분/부분적분 문서 원본 보기

부분 적분은 곱의 미분법을 활용한 적분 법이다

부정적분의 경우에는 다음과 같다.
:<math>\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx</math>

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.
:<math>\int u\,dv = u v - \int v\,du</math>

여기서, <math>u = f(x),\ v = g(x)</math>이고, <math>du = f'(x) dx,\ dv = g'(x) dx</math>이다.

두 미분가능한 연속 함수 <math>f(x)</math>와 <math>g(x)</math>에 대해서, 적분 구간이 <math>[a, b]</math> 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx</math>

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.
:<math>\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).</math>

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